数据结构前缀,后缀,中缀表达式

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  1. <span style="color: rgb(51, 51, 51); font-family: Arial; font-size: 14px; line-height: 26px; background-color: rgb(255, 255, 255);">举例:</span>  

(3 + 4) × 5 - 6 就是中缀表达式

- × + 3 4 5 6 前缀表达式
3 4 + 5 × 6 - 后缀表达式

中缀表达式(中缀记法)
中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法,操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。
虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式,但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的,因此计算表达式的值时,通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式,然后再进行求值。对计算机来说,计算前缀或后缀表达式的值非常简单。

前缀表达式(前缀记法、波兰式)
前缀表达式的运算符位于操作数之前。

前缀表达式的计算机求值:
从右至左扫描表达式,遇到数字时,将数字压入堆栈,遇到运算符时,弹出栈顶的两个数,用运算符对它们做相应的计算(栈顶元素 op 次顶元素),并将结果入栈;重复上述过程直到表达式最左端,最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如前缀表达式“- × + 3 4 5 6”:
(1) 从右至左扫描,将6、5、4、3压入堆栈;
(2) 遇到+运算符,因此弹出3和4(3为栈顶元素,4为次顶元素,注意与后缀表达式做比较),计算出3+4的值,得7,再将7入栈;
(3) 接下来是×运算符,因此弹出7和5,计算出7×5=35,将35入栈;
(4) 最后是-运算符,计算出35-6的值,即29,由此得出最终结果。
可以看出,用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。

将中缀表达式转换为前缀表达式:
遵循以下步骤:
(1) 初始化两个栈:运算符栈S1和储存中间结果的栈S2;
(2) 从右至左扫描中缀表达式;
(3) 遇到操作数时,将其压入S2;
(4) 遇到运算符时,比较其与S1栈顶运算符的优先级:
(4-1) 如果S1为空,或栈顶运算符为右括号“)”,则直接将此运算符入栈;
(4-2) 否则,若优先级比栈顶运算符的较高或相等,也将运算符压入S1;
(4-3) 否则,将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中,再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较;
(5) 遇到括号时:
(5-1) 如果是右括号“)”,则直接压入S1;
(5-2) 如果是左括号“(”,则依次弹出S1栈顶的运算符,并压入S2,直到遇到右括号为止,此时将这一对括号丢弃;
(6) 重复步骤(2)至(5),直到表达式的最左边;
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2;
(8) 依次弹出S2中的元素并输出,结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。
例如,将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为前缀表达式的过程如下:
扫描到的元素 S2(栈底->栈顶) S1 (栈底->栈顶) 说明
5 5 数字,直接入栈
- 5 - S1为空,运算符直接入栈
) 5 - ) 右括号直接入栈
4 5 4 - ) 数字直接入栈
× 5 4 - ) × S1栈顶是右括号,直接入栈
) 5 4 - ) × ) 右括号直接入栈
3 5 4 3 - ) × ) 数字
+ 5 4 3 - ) × ) + S1栈顶是右括号,直接入栈
2 5 4 3 2 - ) × ) + 数字
( 5 4 3 2 + - ) × 左括号,弹出运算符直至遇到右括号
( 5 4 3 2 + × - 同上
+ 5 4 3 2 + × - + 优先级与-相同,入栈
1 5 4 3 2 + × 1 - + 数字
到达最左端 5 4 3 2 + × 1 + - S1中剩余的运算符
因此结果为“- + 1 × + 2 3 4 5”。

后缀表达式(后缀记法、逆波兰式)
后缀表达式与前缀表达式类似,只是运算符位于操作数之后。

后缀表达式的计算机求值:
与前缀表达式类似,只是顺序是从左至右:
从左至右扫描表达式,遇到数字时,将数字压入堆栈,遇到运算符时,弹出栈顶的两个数,用运算符对它们做相应的计算(次顶元素 op 栈顶元素),并将结果入栈;重复上述过程直到表达式最右端,最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”:
(1) 从左至右扫描,将3和4压入堆栈;
(2) 遇到+运算符,因此弹出4和3(4为栈顶元素,3为次顶元素,注意与前缀表达式做比较),计算出3+4的值,得7,再将7入栈;
(3) 将5入栈;
(4) 接下来是×运算符,因此弹出5和7,计算出7×5=35,将35入栈;
(5) 将6入栈;
(6) 最后是-运算符,计算出35-6的值,即29,由此得出最终结果。

将中缀表达式转换为后缀表达式:
与转换为前缀表达式相似,遵循以下步骤:
(1) 初始化两个栈:运算符栈S1和储存中间结果的栈S2;
(2) 从左至右扫描中缀表达式;
(3) 遇到操作数时,将其压入S2;
(4) 遇到运算符时,比较其与S1栈顶运算符的优先级:
(4-1) 如果S1为空,或栈顶运算符为左括号“(”,则直接将此运算符入栈;
(4-2) 否则,若优先级比栈顶运算符的高,也将运算符压入S1(注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同,而这里则不包括相同的情况);
(4-3) 否则,将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中,再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较;
(5) 遇到括号时:
(5-1) 如果是左括号“(”,则直接压入S1;
(5-2) 如果是右括号“)”,则依次弹出S1栈顶的运算符,并压入S2,直到遇到左括号为止,此时将这一对括号丢弃;
(6) 重复步骤(2)至(5),直到表达式的最右边;
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2;
(8) 依次弹出S2中的元素并输出,结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式(转换为前缀表达式时不用逆序)。

例如,将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下:
扫描到的元素 S2(栈底->栈顶) S1 (栈底->栈顶) 说明
1 1 数字,直接入栈
+ 1 + S1为空,运算符直接入栈
( 1 + ( 左括号,直接入栈
( 1 + ( ( 同上
2 1 2 + ( ( 数字
+ 1 2 + ( ( + S1栈顶为左括号,运算符直接入栈
3 1 2 3 + ( ( + 数字
) 1 2 3 + + ( 右括号,弹出运算符直至遇到左括号
× 1 2 3 + + ( × S1栈顶为左括号,运算符直接入栈
4 1 2 3 + 4 + ( × 数字
) 1 2 3 + 4 × + 右括号,弹出运算符直至遇到左括号
- 1 2 3 + 4 × + - -与+优先级相同,因此弹出+,再压入-
5 1 2 3 + 4 × + 5 - 数字
到达最右端 1 2 3 + 4 × + 5 - S1中剩余的运算符

因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”(注意需要逆序输出)。

编写Java程序将一个中缀表达式转换为前缀表达式和后缀表达式,并计算表达式的值。其中的toPolishNotation()方法将中缀表达式转换为前缀表达式(波兰式)、toReversePolishNotation()方法则用于将中缀表达式转换为后缀表达式(逆波兰式):

以下为ac的代码:

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  1. #include<stdio.h>  
  2. #include<stdlib.h>  
  3. #include<string.h>  
  4. int judge(char a,char b)  
  5. {  
  6.     if((a=='*'||a=='/')&&(b=='+'||b=='-'))  
  7.         return 1;  
  8.     else if((a=='+'||a=='-')&&(b=='*'||b=='/'))  
  9.         return -1;  
  10.     else if((a=='+'||a=='-')&&(b=='+'||b=='-'))  
  11.         return 0;  
  12.     else if((a=='*'||a=='/')&&(b=='*'||b=='/'))  
  13.         return 0;  
  14. }  
  15. void houzhui(char a[])  
  16. {  
  17.     char c2[1005],c1[1005];  
  18.     int t1,t2,i;  
  19.     t1=t2=-1;  
  20.     for(i=0; a[i]!='#'; i++)  
  21.     {  
  22.         if(a[i]!='*'&&a[i]!='-'&&a[i]!='+'&&a[i]!='/'&&a[i]!='('&&a[i]!=')')  
  23.         {  
  24.             c2[++t2]=a[i];  
  25.         }  
  26.         else  
  27.         {  
  28.             if(t1==-1||c1[t1]=='('||a[i]=='(')  
  29.             {  
  30.                 c1[++t1]=a[i];  
  31.                 //  printf("%c",c1[t1]);  
  32.             }  
  33.             else if(a[i]==')')  
  34.             {  
  35.                 //t1--;  
  36.                 while(c1[t1]!='(')  
  37.                 {  
  38.                     c2[++t2]=c1[t1--];  
  39.                 }  
  40.                 t1--;  
  41.             }  
  42.             else  
  43.             {  
  44.                 if(judge(a[i],c1[t1])==1)  
  45.                     c1[++t1]=a[i];  
  46.                 else  
  47.                 {  
  48.                     c2[++t2]=c1[t1--];  
  49.                     i--;  
  50.                 }  
  51.             }  
  52.         }  
  53.     }  
  54.     while(t1!=-1)  
  55.     {  
  56.         c2[++t2]=c1[t1--];  
  57.     }  
  58.     for(int i=0; i<=t2; i++)  
  59.         printf("%c",c2[i]);  
  60.         printf("\n");  
  61.   
  62. }  
  63. void zhongzhui(char a[])  
  64. {  
  65.     char c2[1005],c1[1005];//c2��c1���符  
  66.     int t1,t2,i;  
  67.     t1=t2=-1;  
  68.     for(i=0; a[i]!='#'; i++)  
  69.     {  
  70.         if(a[i]!='('&&a[i]!=')')  
  71.         {  
  72.             c2[++t2]=a[i];  
  73.         }  
  74.     }  
  75.     for(int i=0; i<=t2; i++)  
  76.         printf("%c",c2[i]);  
  77.         printf("\n");  
  78.   
  79. }  
  80. void qianzhui(char a[])  
  81. {  
  82.     char c2[1005],c1[1005];//c2��c1���符  
  83.     int t1,t2,i;  
  84.     t1=t2=-1;  
  85.     int l=strlen(a);  
  86.     for(i=l-2; i>=0; i--)  
  87.     {  
  88.         if(a[i]!='*'&&a[i]!='-'&&a[i]!='+'&&a[i]!='/'&&a[i]!='('&&a[i]!=')')  
  89.         {  
  90.             c2[++t2]=a[i];  
  91.         }  
  92.         else  
  93.         {  
  94.             if(t1==-1||c1[t1]==')'||a[i]==')')  
  95.             {  
  96.                 c1[++t1]=a[i];  
  97.                 //  printf("%c",c1[t1]);  
  98.             }  
  99.             else if(a[i]=='(')  
  100.             {  
  101.                 //t1--;  
  102.                 while(c1[t1]!=')')  
  103.                 {  
  104.                     c2[++t2]=c1[t1--];  
  105.                 }  
  106.                 t1--;  
  107.             }  
  108.             else  
  109.             {  
  110.                 if(judge(a[i],c1[t1])==-1)  
  111.                  {  
  112.                     c2[++t2]=c1[t1--];  
  113.                     i++;  
  114.                 }  
  115.                 else  
  116.                 c1[++t1]=a[i];  
  117.             }  
  118.         }  
  119.     }  
  120.     while(t1!=-1)  
  121.     {  
  122.         c2[++t2]=c1[t1--];  
  123.     }  
  124.     for(int i=t2; i>=0; i--)  
  125.         printf("%c",c2[i]);  
  126.         printf("\n");  
  127.   
  128. }  
  129. int main()  
  130. {  
  131.     char a[1005];  
  132.     scanf("%s",a);  
  133.     qianzhui(a);  
  134.     zhongzhui(a);  
  135.     houzhui(a);  
  136. }  

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