1 例子

假设：原始数据为8位，纠错码为6位，原始信息由原始数据+纠错码。
在传输过程中，由于信息干扰等原因，导致原始信息被污染，被污染后有两位数据被修改。

说明	编码
原始信息	001010011011100
被污染后的信息	001100011011100

2 构建码字多项式

根据接收到被污染后的信息转化为码字多项式：
$$R(x)=x^{12}+x^{11}+x^7+x^6+x^4+x^3+x^2\text{\hspace{1em}(1)}$$

3 计算特征值

将$\alpha$代入公式（1）得到：
$$S_1=R(\alpha )={\alpha }^{12}+{\alpha }^{11}+{\alpha }^7+{\alpha }^6+{\alpha }^4+{\alpha }^3+{\alpha }^2={\alpha }^{214}$$
将${\alpha }^3$代入公式（1）得到：
$$S_3=R({\alpha }^3)={\alpha }^{36}+{\alpha }^{33}+{\alpha }^{21}+{\alpha }^{18}+{\alpha }^{12}+{\alpha }^9+{\alpha }^6={\alpha }^{117}$$
将${\alpha }^5$代入公式（1）得到：
$$S_5=R({\alpha }^5)={\alpha }^{60}+{\alpha }^{55}+{\alpha }^{35}+{\alpha }^{30}+{\alpha }^{20}+{\alpha }^{15}+{\alpha }^{10}={\alpha }^{25}$$
计算$S_2,S_4,S_6$：
$$S_2=S_1^2={\alpha }^{173},S_4=S_2^2={\alpha }^{91},S_6=S_3^2={\alpha }^{182}$$

4 根据特征值进行纠错

因为不知道有多少位有错，也不知道错在什么位置，根据纠错码的纠错能力进行穷举。由于纠错码为6位，则纠错能力为$m\le \lfloor 6/2\rfloor$，即$m\le 3$，然后从大到小进行穷举，即$m\in [1,3]$。
先取$m=3$，构建矩阵运算：
$$\left[\begin{array}{ccc}{S}_3& S_2& S_1\\ S_4& S_3& S_2\\ S_5& S_4& S_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\sigma }_1\\ {\sigma }_2\\ {\sigma }_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{S}_4\\ S_5\\ S_6\end{array}\right]$$
代入$S_1,S_2,\dots ,S_6$，并计算行列式：
$$\left|\begin{array}{ccc}{\alpha }^{117}& {\alpha }^{173}& {\alpha }^{214}\\ {\alpha }^{91}& {\alpha }^{117}& {\alpha }^{173}\\ {\alpha }^{25}& {\alpha }^{91}& {\alpha }^{117}\end{array}\right|=0$$
说明不超过3位，然后取$m=2$，构建矩阵运算：
$$\left[\begin{array}{cc}{S}_3& S_2\\ S_4& S_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\sigma }_1\\ {\sigma }_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{S}_4\\ S_5\end{array}\right]$$
代入$S_1,S_2,\dots ,S_6$，并计算行列式：
$$\left|\begin{array}{cc}{\alpha }^{117}& {\alpha }^{173}\\ {\alpha }^{91}& {\alpha }^{117}\end{array}\right|={\alpha }^{45}$$
满秩，方程组有解答，经过计算得到：
$${\sigma }_1={\alpha }^{35}，{\sigma }_2={\alpha }^{21}$$
代入错误多项式得：
$${\alpha }^{21}{x}^2+{\alpha }^{35}x+1=0$$
用Chien搜索可得$x_1=x^{-10},x_2=x^{-11}$，所以错误位置应该是第10位和第11位。

5 存在问题

这个例子还有几个核心问题没有解决：
（1）为什么要计算特征值？（是否会用到范德蒙矩阵或者柯西矩阵的知识？）
（2）有了特征值又如何进行纠错？