高度为5的3阶b树含有的关键字个数_数据结构要考得好,你心里要有B树

01

知识框架47378963727931f85ba4785607333090.png

02

知识点详解

1

B树

①定义与性质

B树也叫B-树。B树是一种平衡的多分树,通常我们说m阶的B树,是二叉排序树的一种扩展,它必须满足如下条件:

01

每个结点最多只有m-1个关键字。

02

根结点最少可以只有1个关键字。

03

非根结点至少有m/2个关键字。

04

每个结点中的关键字都按照从小到大的顺序排列,每个关键字的左子树中的所有关键字都小于它,而右子树中的所有关键字都大于它。

根结点的关键字数量范围为[1,m-1];非根结点的关键字数量范围为[m/2,m-1];

②B树的插入

在进行B树的插入时,根据上面提到的B树的性质,我们可以总结出一条准则:在向B树插入结点时,先判断当前结点关键字的个数是否小于等于m-1,如果满足,直接插入即可,如果不满足,将结点的中间的关键字将这个结点分为左右两部分,中间的结点放到父结点中即可。下面我们来看具体的例子:Q:向一颗5阶B树中插入关键字A:5阶B树中,每个结点最多有4个关键字,最少有2个关键字(根结点除外)。

01

插入15,30,45,60

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02

插入19,此时该结点的关键字个数大于,需进行分裂

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03

插入20,25,28

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左边结点的关键字数大于4,分裂

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③B树的删除

B树的插入比插入稍复杂些,只要牢记B树应该满足的条件,就能够解题。下面我们来看一个B树删除关键字的例子:7effee447221d8d31f10adaaf07b2882.png

01

删除19,19所在结点所剩关键字个数大于2,则可以直接删除

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02

删除30,30不是叶子结点,不能直接删除。这种情况的规则:30是非叶子结点,对于非叶子结点的删除,我们需要用后继的关键字覆盖要删除的关键字,然后在后继关键字所在的分支中删除该关键字。对于删除30,需要将后继元素32移到被删除的30所在的结点。

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此时发现35所在的结点只有一个关键字,小于2个,这时候的规则是(向兄弟结点借元素):如果删除叶子结点,如果删除元素后元素个数少于(m/2),并且它的兄弟结点的元素大于(m/2),也就是说兄弟结点的元素比最少值m/2还多,将先将父结点的元素移到该结点,然后将兄弟结点的元素再移动到父结点。

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03

删除40,删除后不满足B树要求。需要考虑向兄弟结点借元素,但兄弟结点也没有多的结点(2个),借不了。若遇到这样的情况,还是将先将父结点的元素移到该结点,然后,将当前结点及它的兄弟结点中的关键字合并,形成一个新的结点。

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再与兄弟结点合并

2

B+树

①定义与性质

B树与B+树有很多相似之处:

01

根结点所含关键字范围:1 <= k <= m-1 

02

非根结点所含关键字范围:m/2 <= k <= m-1

不同点:

01

B+树有两种类型的结点:内部结点(也称索引结点)和叶子结点。内部结点就是非叶子结点,内部结点不存储数据,只存储索引,数据都存储在叶子结点。

02

内部结点中的关键字都按照从小到大的顺序排列,对于内部结点中的一个关键字,左树中的所有关键字都小于它,右子树中的关键字都大于等于它。叶子结点中的记录也按照关键字的大小排列。

03

每个叶子结点都存有相邻叶子结点的指针,叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。 

04

父结点存有右孩子的第一个元素的索引。

下面我们来看一颗B+树,感受一下它和B树的区别。03ec91503d80b219353eb70c1d9abf31.png

②B+树的插入

B+插入操作很简单,掌握一个要点即可:当结点关键字数量大于m-1的时候,按中间关键字分裂成左右两部分,中间关键字分裂到父结点当做索引存储,但是,中间的关键字自身还是分裂右边结点这一部分的。下面给大家举一个B+树的插入例子:向一颗5阶的B+树中插入元素。分析:5阶B+树的结点中最少2个关键字,最多4个关键字。

01

插入10,16,22,28

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02

插入30,此时该结点的关键字数量大于4个了,进行结点分裂

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03

接着插入35,39,结点继续分裂 

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③B+树的插入

对于删除操作是比B树简单一些的,由于叶子结点有指针的存在,向兄弟结点借元素时,不需要通过父结点了,而是可以直接通过兄弟节移动即可(前提是兄弟结点的元素大于m/2),然后更新父结点的索引;如果兄弟结点的元素不大于m/2(兄弟结点也没有多余的元素),则将当前结点和兄弟结点合并,并且删除父结点中的关键字。下面我们来看一个例子:初始状态B+树:36a4d15e05a5bd7e62fd5fd5f5fd7249.png

01

删除22,删除后,发现B+树不满足要求,且左边兄弟结点的关键字个数够借,借关键字后再修改父结点索引。

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02

删除元素28,发现B+树不满足要求,并且发现左右兄弟结点都没有多余的关键字可借,此时选择与其兄弟结点合并再修改父结点索引。

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此时,其父结点(30)也不满足B+树条件,故将结点30与其兄弟结点进行合并

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03

相关习题

01

(2012年统考)已知一棵三阶B树,如下图所示删除关键字78得到一棵新B树,其 最右叶结点中的关键字是() 

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A、60

B、 60, 62

C、62, 65

D、65

(点击选项查看答案)Tips:根据B树应满足的条件以及删除B树结点的准则即可解题。

02

(2016年统考)B+树不同于B树的特点之一是()

A、能支持顺序查找

B、 结点中含有关键字

C、根结点至少有两个分支

D、所有叶结点都在同一层上

(点击选项查看答案)Tips:B+树的叶结点包含了全部关键字信息,且按大小排列,故B+树支持顺序查找。B树只支持多路查找。

03

(2018年统考)高度为5的3阶B树含有的关键字个数至少是()

A、15

B、31

A、解放思想

B、与时俱进

C、实事求是

D、持续稳定

C、62

D、242

(点击选项查看答案)Tips:3阶B树的非根结点所包含的关键字个数最少是2个,而根结点最少包含1个关键字,这样的树型相当于一棵高度为5的满二叉树,利用公式计算出其包含的关键字个数最少是31。

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