数据结构之Dijkstra算法

基本思想

通过Dijkstra计算图G中的最短路径时,需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。

此外,引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度),而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。

初始时,S中只有起点s;U中是除s之外的顶点,并且U中顶点的路径是”起点s到该顶点的路径”。然后,从U中找出路径最短的顶点,并将其加入到S中;接着,更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后,再从U中找出路径最短的顶点,并将其加入到S中;接着,更新U中的顶点和顶点对应的路径。 … 重复该操作,直到遍历完所有顶点

操作步骤

(1) 初始时,S只包含起点s;U包含除s外的其他顶点,且U中顶点的距离为”起点s到该顶点的距离”[例如,U中顶点v的距离为(s,v)的长度,然后s和v不相邻,则v的距离为∞]。

(2) 从U中选出”距离最短的顶点k”,并将顶点k加入到S中;同时,从U中移除顶点k。

(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离,是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点,从而可以利用k来更新其它顶点的距离;例如,(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。

(4) 重复步骤(2)和(3),直到遍历完所有顶点。

实现

// 邻接矩阵
typedef struct _graph
{char vexs[MAX];       // 顶点集合int vexnum;           // 顶点数int edgnum;           // 边数int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵
}Graph, *PGraph;// 边的结构体
typedef struct _EdgeData
{char start; // 边的起点char end;   // 边的终点int weight; // 边的权重
}EData;

Graph是邻接矩阵对应的结构体。
vexs用于保存顶点,vexnum是顶点数,edgnum是边数;matrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如,matrix[i][j]=1,则表示”顶点i(即vexs[i])”和”顶点j(即vexs[j])”是邻接点;matrix[i][j]=0,则表示它们不是邻接点。
EData是邻接矩阵边对应的结构体。

迪杰斯特拉算法

/** Dijkstra最短路径。* 即,统计图(G)中"顶点vs"到其它各个顶点的最短路径。** 参数说明:*        G -- 图*       vs -- 起始顶点(start vertex)。即计算"顶点vs"到其它顶点的最短路径。*     prev -- 前驱顶点数组。即,prev[i]的值是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径所经历的全部顶点中,位于"顶点i"之前的那个顶点。*     dist -- 长度数组。即,dist[i]是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径的长度。*/
void dijkstra(Graph G, int vs, int prev[], int dist[])
{int i,j,k;int min;int tmp;int flag[MAX];      // flag[i]=1表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路径已成功获取。// 初始化for (i = 0; i < G.vexnum; i++){flag[i] = 0;              // 顶点i的最短路径还没获取到。prev[i] = 0;              // 顶点i的前驱顶点为0。dist[i] = G.matrix[vs][i];// 顶点i的最短路径为"顶点vs"到"顶点i"的权。}// 对"顶点vs"自身进行初始化flag[vs] = 1;dist[vs] = 0;// 遍历G.vexnum-1次;每次找出一个顶点的最短路径。for (i = 1; i < G.vexnum; i++){// 寻找当前最小的路径;// 即,在未获取最短路径的顶点中,找到离vs最近的顶点(k)。min = INF;for (j = 0; j < G.vexnum; j++){if (flag[j]==0 && dist[j]<min){min = dist[j];k = j;}}// 标记"顶点k"为已经获取到最短路径flag[k] = 1;// 修正当前最短路径和前驱顶点// 即,当已经"顶点k的最短路径"之后,更新"未获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点"。for (j = 0; j < G.vexnum; j++){tmp = (G.matrix[k][j]==INF ? INF : (min + G.matrix[k][j])); // 防止溢出if (flag[j] == 0 && (tmp  < dist[j]) ){dist[j] = tmp;prev[j] = k;}}}// 打印dijkstra最短路径的结果printf("dijkstra(%c): \n", G.vexs[vs]);for (i = 0; i < G.vexnum; i++)printf("  shortest(%c, %c)=%d\n", G.vexs[vs], G.vexs[i], dist[i]);
}

references

Dijkstra算法(一)之 C语言详解 - 如果天空不死 - 博客园

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