数据结构之最小生成树

prime算法

普里姆(Prim)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

基本思想
对于图G而言，V是所有顶点的集合；现在，设置两个新的集合U和T，其中U用于存放G的最小生成树中的顶点，T存放G的最小生成树中的边。从所有uЄU，vЄ(V-U) (V-U表示出去U的所有顶点)的边中选取权值最小的边(u, v)，将顶点v加入集合U中，将边(u, v)加入集合T中，如此不断重复，直到U=V为止，最小生成树构造完毕，这时集合T中包含了最小生成树中的所有边。

邻接矩阵实现

基本定义

class MatrixUDG {#define MAX    100#define INF    (~(0x1<<31))        // 无穷大(即0X7FFFFFFF)private:char mVexs[MAX];    // 顶点集合int mVexNum;             // 顶点数int mEdgNum;             // 边数int mMatrix[MAX][MAX];   // 邻接矩阵public:// 创建图(自己输入数据)MatrixUDG();// 创建图(用已提供的矩阵)//MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen);MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]);~MatrixUDG();// 深度优先搜索遍历图void DFS();// 广度优先搜索（类似于树的层次遍历）void BFS();// prim最小生成树(从start开始生成最小生成树)void prim(int start);// 打印矩阵队列图void print();private:// 读取一个输入字符char readChar();// 返回ch在mMatrix矩阵中的位置int getPosition(char ch);// 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1int firstVertex(int v);// 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引，失败则返回-1int nextVertex(int v, int w);// 深度优先搜索遍历图的递归实现void DFS(int i, int *visited);};

MatrixUDG是邻接矩阵对应的结构体。
mVexs用于保存顶点，mVexNum是顶点数，mEdgNum是边数；mMatrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，mMatrix[i][j]=1，则表示”顶点i(即mVexs[i])”和”顶点j(即mVexs[j])”是邻接点；mMatrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。

prime算法

/** prim最小生成树** 参数说明：*   start -- 从图中的第start个元素开始，生成最小树*/
void MatrixUDG::prim(int start)
{int min,i,j,k,m,n,sum;int index=0;         // prim最小树的索引，即prims数组的索引char prims[MAX];     // prim最小树的结果数组int weights[MAX];    // 顶点间边的权值// prim最小生成树中第一个数是"图中第start个顶点"，因为是从start开始的。prims[index++] = mVexs[start];// 初始化"顶点的权值数组"，// 将每个顶点的权值初始化为"第start个顶点"到"该顶点"的权值。for (i = 0; i < mVexNum; i++ )weights[i] = mMatrix[start][i];// 将第start个顶点的权值初始化为0。// 可以理解为"第start个顶点到它自身的距离为0"。weights[start] = 0;for (i = 0; i < mVexNum; i++){// 由于从start开始的，因此不需要再对第start个顶点进行处理。if(start == i)continue;j = 0;k = 0;min = INF;// 在未被加入到最小生成树的顶点中，找出权值最小的顶点。while (j < mVexNum){// 若weights[j]=0，意味着"第j个节点已经被排序过"(或者说已经加入了最小生成树中)。if (weights[j] != 0 && weights[j] < min){min = weights[j];k = j;}j++;}// 经过上面的处理后，在未被加入到最小生成树的顶点中，权值最小的顶点是第k个顶点。// 将第k个顶点加入到最小生成树的结果数组中prims[index++] = mVexs[k];// 将"第k个顶点的权值"标记为0，意味着第k个顶点已经排序过了(或者说已经加入了最小树结果中)。weights[k] = 0;// 当第k个顶点被加入到最小生成树的结果数组中之后，更新其它顶点的权值。for (j = 0 ; j < mVexNum; j++){// 当第j个节点没有被处理，并且需要更新时才被更新。if (weights[j] != 0 && mMatrix[k][j] < weights[j])weights[j] = mMatrix[k][j];}}// 计算最小生成树的权值sum = 0;for (i = 1; i < index; i++){min = INF;// 获取prims[i]在mMatrix中的位置n = getPosition(prims[i]);// 在vexs[0...i]中，找出到j的权值最小的顶点。for (j = 0; j < i; j++){m = getPosition(prims[j]);if (mMatrix[m][n]<min)min = mMatrix[m][n];}sum += min;}// 打印最小生成树cout << "PRIM(" << mVexs[start] << ")=" << sum << ": ";for (i = 0; i < index; i++)cout << prims[i] << " ";cout << endl;
}

kruskal算法

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。
具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。

克鲁斯卡尔算法分析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。

问题二，处理方式是：记录顶点在”最小生成树”中的终点，顶点的终点是”在最小生成树中与它连通的最大顶点”(关于这一点，后面会通过图片给出说明) 。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。以下图来进行说明：

在将

// 边的结构体
class EData
{public:char start; // 边的起点char end;   // 边的终点int weight; // 边的权重public:EData(){}EData(char s, char e, int w):start(s),end(e),weight(w){}
};

EData是邻接矩阵边对应的结构体。

class MatrixUDG {#define MAX    100#define INF    (~(0x1<<31))        // 无穷大(即0X7FFFFFFF)private:char mVexs[MAX];    // 顶点集合int mVexNum;             // 顶点数int mEdgNum;             // 边数int mMatrix[MAX][MAX];   // 邻接矩阵public:// 创建图(自己输入数据)MatrixUDG();// 创建图(用已提供的矩阵)//MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen);MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]);~MatrixUDG();// 深度优先搜索遍历图void DFS();// 广度优先搜索（类似于树的层次遍历）void BFS();// prim最小生成树(从start开始生成最小生成树)void prim(int start);// 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树void kruskal();// 打印矩阵队列图void print();private:// 读取一个输入字符char readChar();// 返回ch在mMatrix矩阵中的位置int getPosition(char ch);// 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1int firstVertex(int v);// 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引，失败则返回-1int nextVertex(int v, int w);// 深度优先搜索遍历图的递归实现void DFS(int i, int *visited);// 获取图中的边EData* getEdges();// 对边按照权值大小进行排序(由小到大)void sortEdges(EData* edges, int elen);// 获取i的终点int getEnd(int vends[], int i);
};

/** 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树*/
void MatrixUDG::kruskal()
{int i,m,n,p1,p2;int length;int index = 0;          // rets数组的索引int vends[MAX]={0};     // 用于保存"已有最小生成树"中每个顶点在该最小树中的终点。EData rets[MAX];        // 结果数组，保存kruskal最小生成树的边EData *edges;           // 图对应的所有边// 获取"图中所有的边"edges = getEdges();// 将边按照"权"的大小进行排序(从小到大)sortEdges(edges, mEdgNum);for (i=0; i<mEdgNum; i++){p1 = getPosition(edges[i].start);      // 获取第i条边的"起点"的序号p2 = getPosition(edges[i].end);        // 获取第i条边的"终点"的序号m = getEnd(vends, p1);                 // 获取p1在"已有的最小生成树"中的终点n = getEnd(vends, p2);                 // 获取p2在"已有的最小生成树"中的终点// 如果m!=n，意味着"边i"与"已经添加到最小生成树中的顶点"没有形成环路if (m != n){vends[m] = n;                       // 设置m在"已有的最小生成树"中的终点为nrets[index++] = edges[i];           // 保存结果}}delete[] edges;// 统计并打印"kruskal最小生成树"的信息length = 0;for (i = 0; i < index; i++)length += rets[i].weight;cout << "Kruskal=" << length << ": ";for (i = 0; i < index; i++)cout << "(" << rets[i].start << "," << rets[i].end << ") ";cout << endl;
}