每日一小练——二项式系数加法解

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题目：二项式系数加法解

内容：请编写一个程序，仅仅用加法，求出n中取r个组合系数C(n,r)，而且尽可能地使加法数目减少。

关于二项式：在数学里，二项式系数，或组合数，是定义为形如(1 + x)的二项式n次幂展开后x的系数（当中n为自然数，k为整数），通常记为。从定义可看出二项式系数的值为整数。这是来自百度的定义。我就不再赘余了。

关于二项式系数我们有一条性质使我们能够使用递归形式：

C(n,r)=C(n,r-1)+C(n-1,r-1)

所以写出递归代码

#include <iostream>
using namespace std;int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{int c(int n, int r);cout << c(8,3)<<endl;getchar();return 0;
}int c(int n, int r)
{if (n == r || r == 0){return 1;}else{return c(n - 1, r) + c(n - 1, r - 1);}
}

依据我们老祖先发明的杨辉三角的性质我们也能够写出非递归的形式

#include <iostream>
using namespace std;int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{int c(int n, int r);cout << c(8,3)<<endl;getchar();return 0;
}int c(int n, int r)
{int result[1000];int i, j;result[0] = 1;for (i = 1; i <= n; i++){for (result[i] = 1, j = i - 1; j >= 1; j--){result[j] += result[j - 1];}}return result[r];
}

只是事实上上面两种方法都不是加法使用最少的方式，最少的方式是通过排列递归路线，如图

图中给出了C(8，3)的运算递归路线，每一个下顶点都是由上两个顶点加和，所以我们能够又一次排列加法顺序，使得加法按行进行，便可节省近三分之中的一个的加法运算效率非常好。

实现代码例如以下：

#include <iostream>
using namespace std;int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{int c(int n, int r);cout << c(8,3)<<endl;getchar();return 0;
}int c(int n, int r)
{int result[1000];int i, j;for (i = 0; i <= r; i++){result[i] = 1;}for (i = 1; i <= n - r; i++){for (j = 1; j <= r; j++){result[j] += result[j - 1];}}return result[r];
}

三段程序的实验结果同样：