0、文章结构

文章的行文逻辑如下，看官可以根据需要跳读，节省时间。

1、介绍underflow和overflow.

2、underflow问题起源

3、underflow问起探索

4、underflow和overflow的常见情形

5、处理一些溢出问题的小技巧

6、对其中的两种小技巧的优缺点比较

 

1、什么是underflow和overflow

在计算机中浮点数都是离散的，有限的。因此计算机无法用有限的浮点数来表示无限的实数。在用浮点数表示实数时，很多数都会存在近似误差。其中一种是下溢（underflow）。比如，一个非常接近于零的数值A（实际上A>0），计算机会直接把该数值判为零，虽然实际上它并不为零。另一种数值误差是上溢（overflow），通俗而言，当一个数值a非常接近某一计算机表示的数值b时（实际a<b），计算机用b表示a。

 

2、起源-算术编码（arithmetic coding）作业初识underflow

音频老师布置一个作业，要求写一段程序实现算术编码，被编码的字符串为：ALIALIBABA。

关于算术编码的原理详见：https://blog.csdn.net/qingkongyeyue/article/details/75216790?utm_source=blogxgwz8

这个很简单，很快就用matlab写出来了，最终和老师给的答案一样。

接着老师就布置了第二个算术编码的作业，实现对下方字符串的编码，包含空格。

DIGITAL AUDIO TECHNOLOGY AND APPLICATION

代码中输入该字符串，可是range输出值为0。

理论上来讲，range是一个非常非常小的值，但不等于零。

这时，突然意识到，老师上课时讲到的，程序在数值运算中出现underflow。

此时的溢出问题的代码：https://download.csdn.net/download/h763247747/10777261

 

3、关于underflow问题的探索

变量Range被计算机判为零，但是它实际上并不等于零。

那么在matlab中，数值小于多少会被计算机判为零呢？

EPS函数

EPS是MATLAB中的函数，表示浮点相对精度。 对双精度数值来说eps表示从 1.0 到下一个最大双精度数的距离。对单精度数值来说eps表示从 1.0 到下一个最大单精度数的距离。

在command window中输入：help eps

Matlab中变量默认为double类型，所以其判别值为2^(-52)，相当于

所以当变量值小于2.22e（-16）时，计算机会直接判为零，这时就需要考虑underflow了。

 

 

 

4、常见数值误差的情形

由此引出另外一个问题：哪些情况会出现数值误差（underflow 或者overflow）？

下方部分内容来自于此论坛：http://www.ilovematlab.cn/thread-242321-1-1.html。

论坛里有非常多大佬的精彩留言，让人豁然开朗。

情形1-underflow

计算所得0.4的实际值小于0.4。

 

情形2-由underflow出现的错误

计算机中的计算值为3，并不等于4。

 

情形2-误差精度

控制台输出，可以发现误差越来越大。

 

对于情景2问题的分析

双精度浮点数在计算机中使用科学计数法存储，下图所示浮点数格式。

关于浮点数的更加详细信息：https://www.cnblogs.com/icmzn/p/5060195.html

两个浮点数相减时，会存在有效位数字的误差。

假如1.4-1在计算机中的表示为0.3999….9*e(0)(13个9)。

100000000.4-100000000=(1.000000004-1.00000000)*e(8)=0. 0000000039..9(5个9)*e(8)。

运算精度就变差了，误差也会增大。

 

情形3-overflow

 

 

情形4-由于overflow出现的错误

演示underflow和overflow使用的代码：https://download.csdn.net/download/h763247747/10777601

 

4、处理一些溢出问题的小技巧

4.1、判断两个数是否相等

可以使用如下公式：

abs(a-b) < eps(a) or eps(b)

如果不等式成立，则a,b相等。

4.2、解决underflow问题

比如floor((1.4-1)*10)，matlab运行的结果为3，并不等于4。为了得到正确的代码，可以如下改写代码。overflow的问题也可以使用类似思路。

 

4.3、提高精度

a-b的结果小于eps(0)时，为了避免结果被计算机判为零，可以使用其它工具，比如advanpix提高精度，比如精确到小数点后200位。

4.4、移位

比如计算0.0000000000111-0.0000000000101时，可以先都乘以10^10，再相减，然后差值再除以10^10，这样可以提高计算精度。

 

5、提高精度和移位的比较

方法2可以更快的解决matlab中出现的溢出问题，但是方法3更加实用。因为在工程领域，很难找到类似advanpix的工具。比如老板要求在arm芯片上实现对音频的算术编码，这样只能用方法3了。

最后用方法4解决音频算术编码underflow问题的代码：https://download.csdn.net/download/h763247747/10777264