照相机的成像变换

1 变换过程

照相机的成像变换过程可以分为3步:世界坐标系——>相机坐标系——>图像坐标系——>像素坐标系

 

2 世界坐标系——>相机坐标系

景物从世界坐标系转换到相机坐标系需要使用到刚体变换(物体不发生变形,对一个几何物体做旋转或平移)

刚体变换如下图所示:

变换的数学表达式为:

简化:

其中,\mathbf{X_c, Y_c, Z_c}代表相机坐标系,\mathbf{X, Y, Z}代表世界坐标系,

矩阵\mathbf{R}代表旋转变换,向量\mathbf{t}代表平移。\mathbf{R, t}称为相机的外参数,与相机无关。

 

旋转变换由3种变换组成:绕 x 轴旋转,绕 y 轴旋转和绕 z 轴旋转,用公式表示为:

\mathbf{R}=\mathbf{r_1*r_2*r_3}

其中\mathbf{r_1, r_2, r_3}分别表示绕 x 轴旋转,绕 y 轴旋转和绕 z 轴旋转的旋转矩阵。

 

3 相机坐标系——>图像坐标

此变换通过小孔成像实现,其原理如下图所示:

简化其投影过程,

已知位于相机坐标系的一个点P=(x, y, z), 投影到图像的点P'=(x', y'),由相似三角形:

可得:

用矩阵表示:

z\begin{bmatrix} x'\\ y' \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f & 0& 0&0 \\ 0& f& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}

 

4 图像坐标系——>像素坐标系

下方图像标注了两种坐标系:

O_1-xy表示图像坐标系,其坐标是连续的;

O_0-uv代表像素坐标系,其坐标只能是大于零的整数,中心像素点的坐标为(u_0, v_0)

每一个像素点的长宽为:dx, dy, 即为感光芯片上像素的实际大小。

从图像坐标系到像素坐标系的变换公式为:

用矩阵表示:

 

5 相机坐标系——>像素坐标系

综合3和4两部分,隐去图像坐标系,直接求取从相机坐标系到像素坐标系的变换矩阵

z\begin{bmatrix} u\\ v \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{dx} & 0 & u_0 \\ 0& \frac{1}{dy} & v_0 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} f & 0& 0 &0 \\ 0& f& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}

为了去掉z,转换为其次矩阵

\begin{bmatrix} u\\ v \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{dx} & 0 & u_0 \\ 0& \frac{1}{dy} & v_0 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} f & 0& 0 &0 \\ 0& f& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}\\

简化:

P'=\begin{bmatrix} u\\ v \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha & 0 & u_0&0 \\ 0& \beta & v_0&0 \\ 0& 0 & 1&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}\\=MP=\begin{bmatrix}\alpha & 0 & u_0 \\ 0& \beta & v_0\\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{0} \end{bmatrix}P=\mathbf{K}\begin{bmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{0} \end{bmatrix}P

其中

\alpha =\frac{f}{dx}

\beta =\frac{f}{dy}

K 为相机的矫正矩阵(calibration matrix)

如果算入图像的倾斜度K为:

这里的cx,cy即为u0, v0

 

6 世界坐标系——>像素坐标系

由2和5部分的分析,可得:

简化:

M 为一个3*4的矩阵,11个未知参数,其中

5个未知参数来自内参矩阵(intrinsic matrix)

3个来自外参旋转

3个来自外参平移

 

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