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第二次笔记主要针对机器学习第一个模型——线性回归，首先给出模型的描述，理清楚各个变量都是什么含义；然后介绍代价函数以及目标函数，并详细生动地解释了参数优化的过程，也就是梯度下降方法。

一、 模型描述

首先回顾一下笔记一的房价预测模型，这是监督学习里回归问题最经典的例子，如下图所示。后面就会依据这个问题来进行线性回归模型的学习。

监督学习有一个带标注的数据集，为后面分析问题的方便，先定义一下几个变量，如下图所示。
图中那个两列的表格即为房价预测数据集。数据集样本的数量用m表示，假如此处有47条数据样本，则m=47；第一列是数据的面积属性（输入变量），用x来表示；第二列是价格（输出变量），用y来表示。那么一个数据样本就可以用（x，y）来表示，第i个样本就可以用(x(i), y(i))来表示，需要注意的是，这里的上标不是指幂次，而是指代第i个样本，如x(1) = 2104，x(2) = 1416。。。。。。

下面看一下房价预测这个问题的解决思路，如下图所示。
简单来说，就是将数据集送入学习算法进行训练，用训练好的模型对输入x（房屋面积）进行预测，得到预测的输出y（房价）。而这个被训练和用于预测的关键模型就被称为假设函数。在训练阶段需要利用数据集对假设函数的参数进行不断更新，在预测阶段假设函数就是做x到y的一个映射。

在房价预测这个问题中，我们选择的模型形式是单变量一次线性函数形式：
也可以简写为h(x)。需要说明一下，房价预测的模型可以有很多种，除了这种一次线性模型以外，如二次、指数、对数等复杂模型都有可能适用这个问题。但是这里为了方便讲解求解目标函数的过程，选择了最简单的单变量一次线性函数来作为假设函数，便于解释原理。

二、 代价函数

1.代价函数和目标函数的引出

用数据集对假设函数进行训练的过程，其实就是求模型参数θ_0和θ_1的值的过程，不同的值表示不同的假设函数，取何值可以最拟合数据集是模型优化的目标。

我们可以这样理解，当假设函数与数据集最拟合的时候，就是所有数据样本到假设函数的距离平均值最小的时候。那么反之，所有数据样本到假设函数的距离平均值最小的时候，就是最拟合的时候，所以我们要求假设函数的参数，可以这样定义：

其中，求和符号后的部分是各样本点与假设函数的平方距离，求和之后取平均，然后求使得该表达式最小的θ_0,θ_1的值，即为最合适的假设函数。需要注意的是求平均时不是1/m，而是1/2m，主要是为了后续梯度下降法求最小值时求导方便，这点后面会提到。

在这里，令

并称其为代价函数（也称为平方误差函数），则目标函数可以简写为

总结一下：

2.代价函数的理解（单变量）

首先为了简化理解，我们假设θ_0为0，即只包含θ_1一个变量，如下图所示。

下面我们来看一下假设函数h(x)与代价函数J(θ)之间的关系，三个数据样本为（1，1）、（2，2）、（3，3）。

（1）θ_1=1，h(x)正好经过三个数据样本，代价函数计算下来为0。

（2）θ_1=0.5

（3）θ_1=0

以此类推，通过改变θ_1的值，可以绘制出代价函数J(θ)的曲线，如下图。

可以观察到，当θ_1=1时，代价函数最小，此时假设函数也是最拟合数据集的，所以利用最小化平方误差函数（代价函数）来求假设函数的参数是正确的。但这是针对只有一个参数的情况，下面将对含有θ_0,θ_1两个参数的情况进行理解。

3.代价函数的理解（两个参数）

当考虑两个参数时，代价函数已经不能用二维坐标来绘制了，因为多了一个变量，所以可以用三维坐标绘制，如下图所示，有了单个参数的经验，这个也不难理解，当改变θ_0,θ_1两个参数的值时，代价函数J(θ_0,θ_1)也会随之改变。

在课中，因为三维坐标不便演示变化的过程，故引入了等高线图的概念，即将相同高度的J(θ_0,θ_1)画成一个椭圆，在同一椭圆上的J(θ_0,θ_1)值都相同，不同椭圆上的J(θ_0,θ_1)值都不同，仅为方便演示。而所有椭圆的中心就是J(θ_0,θ_1)值最小的地方。

我们来看一些举例：图中红色的×代表对应的θ_0,θ_1取值及其相应的J(θ_0,θ_1)，椭圆的中心为J(θ_0,θ_1)值最小的地方，两者的距离就是差的多少。



综上，选择合适的参数，可以最好的拟合数据是问题的求解目标，而目前还停留在一组一组数据的尝试，这显然是不科学的，下面将介绍一种自动求解最优参数解的方法——梯度下降。

三、 梯度下降——求解最优参数

梯度下降是求解最优参数很常用的一种方法，不仅可以使用在线性回归中，后续很多模型的求解都可以使用。

1.梯度下降的步骤

其大致的思路如下所示，代价函数J(θ_0,θ_1)，目标是求其最小时的θ_0,θ_1参数值，首先给定θ_0,θ_1一组初始值（可以是任意的，比如都设为0），然后按照一定的规则去小小地改变θ_0,θ_1的值使得代价函数J(θ_0,θ_1)的值变小，直到其最小（很可能是局部最小，而不是全局最小），此时的θ_0,θ_1值就是待求的。显然，其中的关键，就是按照什么规则去改变参数值。

下面用可视化图来演示一下梯度下降的上述过程：
（1） 首先选择一个初始点
（2） 然后每次朝下降最快的方向下降一小步，每次都独立地寻找下降方向。

需要注意的是，因为初始位置选择的不确定性，下降的路径可能完全不一样，如下图所示，是从另一个初始位置开始下降，最终下降到了不同的最优点。这两个最优点可能是全局最优点，可能是局部最优点，无法保证一定是全局最优。

2.梯度下降的数学表达

上面提到，梯度下降方法最关键的是按照什么规则改变参数值，也就是可视化图中朝着哪个方向下降一小步，它的数学表达式如下所示。

（1）:=是赋值的意思，将计算后的值赋给θ_j。当不止一个参数需要更新的时候，注意要使用同步更新的方法，就是将每个参数的新值用旧值计算好后，一次性全部赋值，而错误的做法是，计算更新了一个参数，然后用更新的值去计算更新别的参数，这样就没有做到同步更新。
（2）表达式中的α称为学习率，它决定了参数更新的大小，它越大，每次更新的变化就越大，反之则越小。如果学习率太小，可能导致梯度下降收敛速度很慢；如果学习率太大，可能导致无法收敛甚至是发散，如下图所示。

（3）偏导数项我们用单变量函数J(θ)来说明一下原理。
若J(θ)是一个如下图所示的函数，在红色点位置，J(θ)的导数为正数，θ将减去一个正数，即减小，从图中可见，θ减小正是朝着使得J(θ)减小的方向变化。

再考虑如下红色点位置，J(θ)的导数为负数，θ将减去一个负数，即增大，从图中可见，θ增大正是朝着使得J(θ)减小的方向变化。

推广到多参数的情况，虽然不方便可视化，但原理是一样的，减去这个偏导数项，就是朝着使得J(θ)减小的方向变化。

如果已经下降到局部最优点，那么导数将等于0，参数将不再更新。

四、 用梯度下降法求解的线性回归

主要就是将梯度下降法中的代价函数具体为线性回归的表达式。

对

求偏导。

所以梯度下降表达式可表示为如下

下面用可视化图来演示参数变化的过程，先给出初始位置。






补充：梯度下降有时也称为Batch梯度下降，就是参数每次更新都用到了整个数据集的数据样本。相应的还有随机梯度下降，每次更新只用随机一个数据样本，mini-batch梯度下降，每次使用一部分数据样本进行更新。