课程链接： https://www.bilibili.com/video/BV164411b7dx?from=search&seid=5329376196520099118

上一个笔记介绍了单输入变量（一元）线性回归问题，即只考虑了一个属性对房价的影响，但很多时候会有多个因素对输出产生影响，所以这次笔记主要针对多元线性回归问题，是对笔记二的推广。

一、 多元线性回归问题介绍

1.一些定义

还是以房价预测问题为例，与一元线性回归问题所不同的是，将有多个因素来共同决定房价，如下表所示，除了面积之外，还有卧室数量、楼层数量、房屋年纪共四个属性作为输入，分别记为x1、x2、x3、x4。

在这里，我们将属性（特征）的数量记为n，这里n=4；数据样本数量记为m，如m=47。x(i)表示第i个数据的所有属性，是对数据集的索引，因为这里是多属性，所以可以表示为一个向量，如x(2) = [1416 3 2 40]T；而x_j(i)表示第i个数据样本的第j个属性值，是对具体属性的索引，如x_3(2)=2。

2.假设函数

还是考虑采用一次线性函数，但是不再是一元，而是多元。再次强调，并非一定采用一次线性函数的形式，可以采用别的形式如二次、指数等来进行模型的求解，这里是为了介绍线性回归问题所以采用线性函数。

针对上述提出的四个属性，假设函数可以改写为如下形式：

再推广一下到一般形式：

这里有一个小技巧，为了后面表示的方便，我们定义一个x0=1，那么有

下面，令

那么假设函数又能用向量相乘的方式表示：

这么做的意义是，在计算机的一些库中，向量相乘的计算速度要比普通的相乘相加来得快，当数据量非常庞大时，该操作可以有效提升效率。

二、 多元梯度下降法

多元线性回归问题的假设函数、参数、代价函数和对应的梯度下降法如下图所示。

这里需要注意的是，我们尽量使用向量的计算来代替n个变量之间的计算，所以参数θ_0，θ_1，…，θ_n可以用一个n+1维的向量表示θ=[θ_0 θ_1…θ_n]^T。

下面具体看一下梯度下降的求偏导部分，如下所示：

与一元线性回归问题相比，推广到了更一般的情况，而其θ_0，θ_1的表达式就是一元的表达式。

1. 梯度下降法实用技巧：特征缩放

主要的思想是，如果数据的各个属性的值的范围都有相同的尺度，那么梯度下降法将能够更快收敛。可以通过下面的图来说明：

x1的值的范围在0-2000，而x2的范围是1-5，做出的等高线图如左图所示，因为尺度差异过大，非常细长，从而导致很不利于梯度下降法收敛到最优点，红色的线是梯度下降的过程。解决办法可以是将x1和x2都标准化到0-1的范围，等高线图将比较均匀，如右边的图所示，不论初始位置在哪，都容易收敛到最优点。

一般我们特征缩放的范围都会尽量使他靠近-1到1这个大致范围，这不固定，0 ~ 3或-2 ~ 0.5这种范围都可以接受，但是-100 ~ 100或-0.0001 ~ 0.0001这种就相差太大，最好进行特征缩放。

说到底，特征缩放其实就是数据预处理的一个体现——标准化，以后会经常遇到需要标准化的数据，标准化的方法也有很多，如下面这种均值标准化，通过减去均值除以标准差后进行范围的标准化，后面有机会我会进行标准化方法的总结。

2. 梯度下降法的学习率

主要介绍调试以及如何选择学习率。

在梯度下降算法迭代的过程中，如何判断是在朝着正确的方向计算，可以绘制一张迭代次数与代价函数的曲线图，如下所示，如果代价函数J(θ)随着迭代次数不断减小，则是正确的。曲线下降到后期可能已经趋于平坦，则意味着已经达到收敛，此时几乎就是最优点。

一些不正确的的代价函数变化曲线如下所示，说明没有在正确工作。一般的解决办法是减小学习率。

理论上说，只要学习率足够小，总能最终收敛到局部最优点，但是如果学习率太小的话，收敛所需的时间也是非常漫长的，这是需要综合考虑的问题，也就是调参的工作。

总结一下，一般判断梯度下降是否在正确工作，会绘制迭代次数和代价函数的变化曲线图来判断，而且可以通过调节学习率来达到更好的结果，学习率的选择一般需要尝试，并不断改善。

三、 特征选择与多项式回归

在之前的讨论中，数据集提供了什么属性（特征），我们就全部进行了使用，其实特征的使用与否可以人为选择，甚至可以根据现有的特征创造新的特征，只要是对问题的解决更合理即可。如下图所示，给了房屋的宽度和深度特征，但是我们从现实情况考虑，应该使用房屋的面积来衡量更为合理，所以定义新的特征面积等于宽度×深度，然后使用该新特征去计算。

还有一点，之前提到过假设函数的形式并不唯一，这里是为了讲解线性回归问题才给定的多元线性模型，还可以使用二次，三次模型来拟合，如下图所示，这里为简单起见，只考虑一个特征。

而这些其他的模型，其实也可以使用多元线性模型来拟合，只需要将二次项、三次项或平方根项当成一个新的属性即可。

四、 正规方程法

梯度下降法是通过不断的迭代来求得最优点，而下面介绍的正规方程法，可以依据公式直接求得最优解。

从微积分的知识可以知道，想要求使得函数达到最小的自变量的值，可以对该函数求偏导并使之等于0，求解出的自变量的值就是最优解。但是当函数复杂而且变量比较多时，这样做非常复杂。

1. 一些定义

还是使用房价预测的例子，假设有包含四条数据的数据集如下：

定义X，y为

更一般的形式如下图：

2. 正规方程解的公式

该公式由来的推导过程这里暂时先不写，有需要可以看深度之眼提供的西瓜书推导课程，详细到令人发指，非常良心的课程：
深度之眼西瓜书推导课程

3. 梯度下降法和正规方程法的比较

先上图

（1） 梯度下降法需要选择学习率，需要需要很多次的迭代，而且经常需要绘制代价函数变化曲线来判断过程是否正确，而正规方程法不需要，它可以依据公式直接求解。
（2） 当特征数量非常庞大时，梯度下降法法依然可以很好的工作，而正规方程因为涉及到逆矩阵的计算，计算复杂度会飞速上升，计算速度很慢，而且梯度下降是一种通用方法，正规方程是根据线性回归的特点推导出来的，用在别的模型上就很可能不适用，如后面的逻辑回归。

所以，当特征数量不是很庞大时，正规方程法是梯度下降法很好的替代方法，但是当特征数量很庞大或是用到其他模型时，梯度下降法会更好。

4. 正规方程法在矩阵不可逆的情况下的解决

从正规方程的求解公式中可以看到，需要进行一次求逆矩阵的运算，那么必然存在逆矩阵不存在的情况，这时该如何求解？

主要有两个原因会导致不可逆：

一个是存在重复多余的特征，像面积特征有两个，一个用平方米做单位，一个用平方英尺做单位，其实是重复的，那么我们需要去掉。

还有可能是特征数太多，甚至超过了样本数，如100个特征却只有10个数据，则很可能导致不可逆，那么可以通过删除一些特征或者采用正则化的方法来解决。正则化的方法后续会讲到。这是笼统的解释，更数学的解释可以看深度之眼的西瓜书的课程，会一步步推导出来。