matlab向量归一化_已知近似的特征值，求特征向量

对于矩阵A, 已知它的一个近似的特征值，

一般特征值问题在已知特征值后，可确定齐次线性方程

，是一个齐次线性方程组，且有非零解，即可用null解得其解空间。然而，

在数值上行列式不严格为零，则无法用null求得非零解，此时，预设一个

，形成方程：

不断循环，最后再将结果归一化，可收敛至近似的特征向量。

运行结果：

V =-0.9923    0.1113   -0.0447   -0.02180.0574    0.1589   -0.0903   -0.96640.0725    0.3513   -0.9249    0.23720.0826    0.9159    0.3666    0.0970E =0.9546         0         0         00    4.2419         0         00         0    2.8804         00         0         0    1.9230Vec0 =0.9924-0.0581-0.0716-0.0811

可以注意到，即使是在随机取的初始向量的情况下，仅需两次迭代，即可得到比较准确的特征向量。（若已知近似的特征向量，仅需1次迭代即可获得高精度特征向量）。这说明，在已知近似的特征值后，可以以较高的效率求得特征向量。进而用

求得准确的特征值。

该方法收敛性证明见：http://homepage.divms.uiowa.edu/~atkinson/m171.dir/sec_9-6.pdf

注：1. 利用Gersgorin圆盘定理判定特征值的范围，若特征值范围较小，则可更快速地估计特征向量及更准确的特征值。

2. 对一些在线数据，新增加的数据对已有的数据的统计量（如协方差矩阵）影响较小，这时可用以上方法快速估计特征向量。效率比每次都做特征值分解高。

——补充———

补充计算了一个100维矩阵的特征值分解，发现matlab的eig函数效率还是比较高的，而在已知近似特征值的情况下，需要对每个特征向量做非齐次方程求解。相较之下效率与直接eig相差不大（或许是for循环速度慢）。