P3195 [HNOI2008]玩具装箱TOY

题目描述

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

输入输出格式

输入格式：

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

输出格式：

输出最小费用

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

1
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普通的一维DP很好想，题中给出$x = j - i + \sum\limits_{k=i}^{j}C_k$
考虑$(x-L)^2$可以变成$(j-i+\sum\limits_{k=i}^{j}C_k-L)^2 = ((\sum\limits_{k=i}^{j}C_k+1)-(L+1))^2$

读入时直接把C和L都加1
枚举j表示从j+1到i划分成一段，时间是$O(N^2)$，TLE。

$f[i] = min(f[j]+(S_i-S_j-L)^2)$其中$S_i = \sum\limits_{k=1}^{i}C_k$,即C的前缀和

考虑如何对其进行优化

$f[i] = min(f[j]+(S_i-S_j-L)^2)$

$f[i] = min(f[j]+(S_i-L)^2-2(S_i-L)S_j+{S_{j}}^{2})$

$f[i] = (S_i-L)^2+min(y_j-k_ix_j)$

其中$x_j = S_j$，$y_j = f_j + {S_j}^2$，$k_i = 2(S_i-L)$

这就像是一个直线的斜率式

可知$k_i$是单调递增的

将$x_j,y_j$映射到坐标轴里，画一条过点$(x_j, y_j)$的斜率为$k_i$的直线

$y_j - k_ix_j$是它的截距。要使答案最小，就要使截距最小。

维护一个下凸壳（自行百度），可知只有下凸壳上的点组成的直线才有可能成为最优解