爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：

爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。

当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？

示例 1：

输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
示例 2：

输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。
示例 3：

输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278
提示：

0 <= K <= N <= 10000
1 <= W <= 10000
如果答案与正确答案的误差不超过 10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。
此问题的判断限制时间已经减少。

代码：

未优化，会超时

class Solution {

    //转移方程：dp[i]=(dp[i+1]+dp[i+2]+...+dp[i+w])/w

    public double new21Game(int N, int K, int W) {

        if(K==0||K-1+W <= N){

            return 1;

        }

        //倒数第二次抽到K-1,最后一次抽W，是可以达到的最大分数

        double dp[] = new double[K+W];

        //比K大，不大于N，也比能达到的最大分数小，概率就为1

        for(int i=K;i<=N&&i<K+W;i++){

            dp[i]=1.0;

        }

        for(int i=K-1;i>=0;i--){

            for(int j=1;j<=W;j++){

                dp[i]+=dp[i+j]/W;

            }

        }

        return dp[0];

    }

}

 

优化后：

之前的动态转移方程：dp[i]=(dp[i+1]+dp[i+2]+...+dp[i+w])/w

所以dp[i+1]-dp[i]=(dp[i+w+1]-dp[i+1])/w;

所以dp[i]=dp[i+1]-(dp[i+w+1]-dp[i+1])/w;//0<=i<k-1

i=k-1时，不适用上式

dp[k-1]=(dp[k]+...+dp[k-1+w])/w

因为k<=i<k+w时，k<=N时dp[i]才为1

就是看这之间有几个为1的

所以就是dp[k-1]=(min(n,k+w-1)-k+1)/w=(min(n-k+1,w))/w

代码：

class Solution {

    //转移方程：dp[i]=(dp[i+1]+dp[i+2]+...+dp[i+w])/w

    public double new21Game(int N, int K, int W) {

        if(K==0||K-1+W <= N){

            return 1;

        }

        //倒数第二次抽到K-1,最后一次抽W，是可以达到的最大分数

        double dp[] = new double[K+W];

        for(int i=K;i<=N&&i<K+W;i++){

            dp[i]=1.0;

        }

         dp[K - 1] = 1.0 * Math.min(N - K + 1, W) / W;

        for (int i = K - 2; i >= 0; i--) {

            dp[i] = dp[i + 1] - (dp[i + W + 1] - dp[i + 1]) / W;

        }

        return dp[0];

    }

}