牛客18987 粉嘤花之恋（矩阵快速幂、斐波那契数列）

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64bit IO Format: %lld

题目描述

qn是个特别可爱的小哥哥，qy是个特别好的小姐姐，他们两个是一对好朋友 [ cp (划掉~)
又是一年嘤花烂漫时，小qn于是就邀请了qy去嘤花盛开的地方去玩。当qy和qn来到了田野里时，qy惊奇的发现，嘤花花瓣以肉眼可见的速度从树上长了出来。
仔细看看的话，花瓣实际上是以一定规律长出来的，而且，每次张成新的花瓣的时候，上一次的花瓣就会都落到地上，而且不会消失。
花瓣生长的规律是，当次数大于等于2时，第i次长出来的花瓣个数和上一次张出来的花瓣个数的差是斐波那契数列的第i-1项。初始的时候地上没有花瓣，树上的花瓣个数为1，第一次生长的花瓣个数为1。初始的那个花瓣就落到了地上
现在，小qn想知道，经过k次生长之后，树上和地上的总花瓣个数是多少?
ps:斐波那契数列:
f[1]=f[2]=1;f[i]=f[i-1]+f[i-2] (i>=2且i ∈ N+)

输入描述:

一行一个数k

输出描述:

一行一个数m，表示第k次生长过后，树上和地上的总花瓣数是多少。由于答案会很大，请你将答案mod 998244353后输出
在这里插入图片描述
题意不难理解，最终结果是要求斐波那契数列的前k+1项之和，又因为Sn = f(n+2) - 1，所以最后就是求 f(n+3)-1

普通的斐波那契数列求解可以用递归（时间复杂度O(2^N)），但是这里的数据太大，会超时，
所以这里用矩阵快速幂（时间复杂度O（logN））来求解。

在这里插入图片描述

[F(n),F(n-1)] = [F(1), F(0)] * [[1 1] [1 0]]^(n-1)

F(n)的获取方法有两种

第一种，是取矩阵运算结果的第一行第一列，
由[F(n),F(n-1)] = [F(1), F(0)] * [[1 1] [1 0]]^(n-1)得，矩阵运算n-1次
第二种，取矩阵运算结果第一行元素之和，
由[F(n-1),F(n-2)] = [F(1), F(0)] * [[1 1] [1 0]]^(n-2), F(n) = F(n-1)+F(n-2),矩阵运算n-2次

GLOBAL_MOD = 998244353
k = int(input())"""
题意不难理解，最终结果是要求斐波那契数列的前k+1项之和  ， 又因为Sn = f(n+2) - 1， 所以最后就是求 f(n+3)-1普通的斐波那契数列求解可以用递归（时间复杂度O(2^N)），但是这里的数据太大，会超时， 
所以这里用矩阵快速幂（时间复杂度O（logN））来求解。[F(n),F(n-1)] = [F(1), F(0)] * [[1 1] [1 0]]^(n-1)F(n)的获取方法有两种
第一种，是取矩阵运算结果的第一行第一列，
由[F(n),F(n-1)] = [F(1), F(0)] * [[1 1] [1 0]]^(n-1)得，矩阵运算n-1次
第二种，取矩阵运算结果第一行元素之和，
由[F(n-1),F(n-2)] = [F(1), F(0)] * [[1 1] [1 0]]^(n-2), F(n) = F(n-1)+F(n-2),矩阵运算n-2次
"""
class Solution:def fib(self, n: int) -> int:if n < 2:return nres = self.matrixpower(n-1)res = res[0][0]-1res = res % GLOBAL_MODreturn resdef matrixpower(self, power):# res初始值为单位矩阵res = [[1, 0],[0, 1]] base = [[1, 1],[1, 0]] # 这个是我们根据斐波那契数列的特点构造的矩阵 while power !=0:if power&1 !=0:res = self.multimatrix(res, base)power = power>>1base = self.multimatrix(base, base)return resdef multimatrix(self, m1, m2):n = len(m1)res = [[0]*n for i in range(n)]for i in range(n):for j in range(n):for k in range(n):res[i][j] = (res[i][j]+m1[i][k] * m2[k][j])%GLOBAL_MODreturn resans = Solution()
print((ans.fib(k+3)))