文章目录
- 1. 字符串相似度
- 1.1 莱文斯坦距离
- 1.2 最长公共子串长度
- 2. 计算编辑距离
- 2.1 莱文斯坦距离
- 2.2 最长公共子串长度
- 3. 搜索引擎拼写纠错
- 4. 练习题
在 Trie树那节讲过，利用Trie可以进行关键词提示，节省输入时间。
在搜索框中你不小心打错了字，它也会智能提醒你是不是要搜XXX
1. 字符串相似度
- 如何量化两个字符串的相似度？有一个非常著名方法，编辑距离（Edit Distance）。
- 编辑距离，将一个字符串转化成另一个字符串，需要的最少编辑操作次数（增加一个字符、删除一个字符、替换一个字符）。
- 编辑距离越大，两个字符串相似度越小；编辑距离越小，两个字符串相似度越大。两个完全相同的字符串，编辑距离是0。
1.1 莱文斯坦距离
- 莱文斯坦距离（Levenshtein distance）允许增加、删除、替换字符这三个编辑操作
- 莱文斯坦距离的大小，表示两个字符串差异的大小
1.2 最长公共子串长度
- 最长公共子串长度（Longest common substring length）只允许增加、删除字符这两个编辑操作
- 表示两个字符串相似程度的大小
两个字符串 mitcmu 和 mtacnu 的莱文斯坦距离是3，最长公共子串长度是4。
2. 计算编辑距离
这个问题是求把一个字符串变成另一个字符串，需要的最少编辑次数。整个求解过程，涉及多个决策阶段，需要依次考察一个字符串中的每个字符，跟另一个字符串中的字符是否匹配，所以，问题符合多阶段决策最优解模型。
2.1 莱文斯坦距离
回溯解法：
回溯是一个递归处理的过程。如果a[i]与b[j]匹配，我们递归考察a[i+1]和b[j+1]。如果a[i]与b[j]不匹配，那我们有多种处理方式可选：
- 可以删除a[i]，然后递归考察a[i+1]和b[j]；
- 可以删除b[j]，然后递归考察a[i]和b[j+1]；
- 可以在a[i]前面添加一个跟b[j]相同的字符，然后递归考察a[i]和b[j+1]；
- 可以在b[j]前面添加一个跟a[i]相同的字符，然后递归考察a[i+1]和b[j]；
- 可以将a[i]替换成b[j]，或者将b[j]替换成a[i]，然后递归考察a[i+1]和b[j+1]。
/*** @description: 莱文斯坦距离，回溯* @author: michael ming* @date: 2019/7/25 1:25* @modified by: */
#include <string>
#include <iostream>
using namespace std;
void lwstBT(string &a, string &b, int i, int j, int dist, int &minDist)
{if(i == a.size() || j == b.size()){if(i < a.size())dist += (a.size()-i);if(j < b.size())dist += (b.size()-j);if(dist < minDist)minDist = dist;return;}if(a[i] == b[j])// 两个字符匹配{lwstBT(a,b,i+1,j+1,dist,minDist);}else// 两个字符不匹配{lwstBT(a,b,i+1,j,dist+1,minDist);// 删除 a[i] 或者 b[j] 前添加一个字符lwstBT(a,b,i,j+1,dist+1,minDist);// 删除 b[j] 或者 a[i] 前添加一个字符lwstBT(a,b,i+1,j+1,dist+1,minDist);// 将 a[i] 和 b[j] 替换为相同字符}
}
int main()
{int minDist = INT_MAX;string a = "mitcmu", b = "mtacnu";lwstBT(a,b,0,0,0,minDist);cout << "莱文斯坦距离：" << minDist << endl;
}
-
在递归树中，每个节点状态包含三个变量（i，j，dist），dist表示处理到a[i]和b[j]时，已经执行的编辑次数。
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在递归树中，（i，j）两个变量重复的节点很多，比如（3，2）和（2，3）。对于（i，j）相同的节点，我们只保留 dist最小的，继续递归处理，剩下的舍弃。所以，状态就从（i，j，dist）变成了（i，j，min_dist），其中min_dist 表示处理到a[i]和b[j]，已经执行的最少编辑次数。
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这个问题的状态转移方式，要比之前两节课中讲到的例子要复杂很多。上一节我们讲的矩阵最短路径问题中，到达状态（i，j）只能通过（i-1，j）或（i，j-1）两个状态转移过来，而今天这个问题，状态（i，j）可能从（i-1，j），（i，j-1），（i-1，j-1）三个状态中的任意一个转移过来。
写状态转移方程如果：a[i] != b[j]，那么：min_dist(i, j) 就等于： min{min_dist(i-1,j)+1, min_dist(i,j-1)+1, min_dist(i-1,j-1)+1}如果：a[i] == b[j]，那么：min_dist(i, j) 就等于： min{min_dist(i-1,j)+1, min_dist(i,j-1)+1， min_dist(i-1,j-1)}其中，min 表示求三数中的最小值。根据状态转移方程，填充状态表
/*** @description: 莱文斯坦距离，动态规划* @author: michael ming* @date: 2019/7/25 20:40* @modified by: */
#include <string>
#include <iostream>
using namespace std;
int min(int x, int y, int z)
{int m = INT_MAX;if(x < m) m = x;if(y < m) m = y;if(z < m) m = z;return m;
}
int lwstDP(string &a, const int lenA, string &b, const int lenB)
{int i, j;int minDist[lenA][lenB];for(j = 0; j < lenB; ++j)//初始化第 0 行:a[0..0] 与 b[0..j] 的编辑距离{if(a[0] == b[j])minDist[0][j] = j;else if(j != 0)minDist[0][j] = minDist[0][j-1]+1;elseminDist[0][j] = 1;}for(i = 0; i < lenA; ++i)//初始化第 0 列:a[0..i] 与 b[0..0] 的编辑距离{if(a[i] == b[0])minDist[i][0] = i;else if(i != 0)minDist[i][0] = minDist[i-1][0]+1;elseminDist[i][0] = 1;}for(i = 1; i < lenA; ++i)//按行填状态表for(j = 1; j < lenB; ++j){if(a[i] == b[j])minDist[i][j] = min(minDist[i-1][j]+1, minDist[i][j-1]+1, minDist[i-1][j-1]);elseminDist[i][j] = min(minDist[i-1][j]+1, minDist[i][j-1]+1, minDist[i-1][j-1]+1);}return minDist[lenA-1][lenB-1];
}
int main()
{string a = "mitcmu", b = "mtacnu";cout << "莱文斯坦距离：" << lwstDP(a,a.size(),b,b.size()) << endl;
}
2.2 最长公共子串长度
最长公共子串作为编辑距离的一种，只允许增加、删除字符两种操作。表征的也是两个字符串之间的相似程度。
- 每个状态包括三个变量（i，j，max_lcs），max_lcs表示a[0…i]和b[0…j]的最长公共子串长度。那（i，j）这个状态都是由哪些状态转移过来的呢？
- 先来看回溯的处理思路。我们从a[0]和b[0]开始，依次考察两个字符串中的字符是否匹配。
- 如果a[i]与b[j]匹配，最大公共子串长度+1，继续考察a[i+1]和b[j+1]。
- 如果a[i]与b[j]不匹配，最长公共子串长度不变，这个时候，有两个不同的决策路线：
1 删除a[i]，或者在b[j]前面加上一个字符a[i]，然后继续考察a[i+1]和b[j]；
2 删除b[j]，或者在a[i]前面加上一个字符b[j]，然后继续考察a[i]和b[j+1]。
a[0…i]和b[0…j]的最长公共长度max_lcs（i，j），只有可能通过下面三个状态转移过来：
（i-1，j-1，max_lcs），max_Ics表示 a[0…i-1] 和 b[0…j-1] 的最长公共子串长度；
（i-1，j，max_lcs），max_lcs表示 a[0…i-1] 和 b[0…j] 的最长公共子串长度；
（i，j-1，max_lcs），max_Ics表示 a[0…i] 和 b[0…j-1] 的最长公共子串长度。
状态方程
如果：a[i] == b[j]，那么：max_lcs(i, j) 就等于：
max{max_lcs(i-1，j-1)+1, max_lcs(i-1, j), max_lcs(i, j-1)}；如果：a[i] != b[j]，那么：max_lcs(i, j) 就等于：
max{max_lcs(i-1，j-1), max_lcs(i-1, j), max_lcs(i, j-1)}；其中 max 表示求三数中的最大值。
/*** @description: 最长公共子串长度, DP* @author: michael ming* @date: 2019/7/25 21:40* @modified by: */
#include <string>
#include <iostream>
using namespace std;
int max(int x, int y, int z)
{int m = INT_MIN;if(x > m) m = x;if(y > m) m = y;if(z > m) m = z;return m;
}
int lcsDP(string &a, const int lenA, string &b, const int lenB)
{int i, j;int maxlcs[lenA][lenB];for(j = 0; j < lenB; ++j)//初始化第 0 行:a[0..0] 与 b[0..j] 的maxlcs{if(a[0] == b[j])maxlcs[0][j] = 1;else if(j != 0)maxlcs[0][j] = maxlcs[0][j-1];elsemaxlcs[0][j] = 0;}for(i = 0; i < lenA; ++i)//初始化第 0 列:a[0..i] 与 b[0..0] 的maxlcs{if(a[i] == b[0])maxlcs[i][0] = 1;else if(i != 0)maxlcs[i][0] = maxlcs[i-1][0];elsemaxlcs[i][0] = 0;}for(i = 1; i < lenA; ++i)//按行填状态表for(j = 1; j < lenB; ++j){if(a[i] == b[j])maxlcs[i][j] = max(maxlcs[i-1][j], maxlcs[i][j-1], maxlcs[i-1][j-1]+1);elsemaxlcs[i][j] = max(maxlcs[i-1][j], maxlcs[i][j-1], maxlcs[i-1][j-1]);}return maxlcs[lenA-1][lenB-1];
}
int main()
{string a = "mitcmu", b = "mtacnu";cout << "最大公共子串长度：" << lcsDP(a,a.size(),b,b.size()) << endl;
}
最大公共子串长度：4
3. 搜索引擎拼写纠错
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当用户在搜索框内，输入一个拼写错误的单词时，拿这个单词跟词库中的单词一—进行比较，计算编辑距离，将编辑距离最小，作为纠正之后的单词，提示用户。
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这就是拼写纠错最基本的原理。真正商用的搜索引擎，拼写纠错功能不会这么简单。一方面，单纯利用编辑距离来纠错，效果并不一定好；另一方面，词库中的数据量可能很大，对纠错的性能要求很高。
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针对纠错效果不好，有很多种优化思路。
a. 取出编辑距离最小的TOP10，然后根据其他参数决策选择。比如使用搜索热门程度来决定。
b. 可以用多种编辑距离计算方法，比如今天讲到的两种，分别计算编辑距离最小的TOP10，求交集，用交集的结果，再继续优化处理。
c. 可以统计用户的搜索日志，得到最常拼错的单词列表，以及对应的拼写正确的单词。纠错时，首先在这个最常拼错单词列表中查找。一旦找到，直接返回对应的正确的单词。这样纠错的效果非常好。
d. 引入个性化因素。针对每个用户，维护这个用户特有的搜索喜好，也就是常用的搜索关键词。当用户输入错误时，先在这个用户常用的搜索关键词中，计算编辑距离，查找编辑距离最小的单词。 -
针对纠错性能方面，讲两种分治的优化思路。
a. 如果纠错功能的TPS（每秒事务处理量(TransactionPerSecond)）不高，可以部署多台机器，每台机器运行一个独立的纠错功能。当有一个纠错请求的时候，通过负载均衡，分配到其中一台机器，来计算编辑距离，得到纠错单词。
b. 如果纠错系统的响应时间太长，也就是，每个纠错请求处理时间过长，可以将纠错的词库，分割到很多台机器。当有一个纠错请求的时候，将这个拼写错误的单词，同时发送到多台机器，并行处理，分别得到编辑距离最小的单词，然后再比对合并，最终决定出一个最优的纠错单词。
4. 练习题
LeetCode 72. 编辑距离（DP）
LeetCode 1143. 最长公共子序列（动态规划）
