参考：
吴恩达视频课
深度学习笔记

1. 训练，验证，测试集

深度学习是一个典型的迭代过程，迭代的效率很关键

创建高质量的训练数据集，验证集和测试集有助于提高循环效率

• 切分标准：
  小数据量时代，常见做法是三七分，70%验证集，30%测试集；也可以 60%训练，20%验证和20%测试集来划分。
  大数据时代，数据量可能是百万级别，验证集和测试集占总量的比例会趋于变得更小。
  我们的目的就是验证不同的算法，检验哪种算法更有效，不需要拿出20%的数据作为验证集，很少的一部分占比的数据就已经足够多了。
• 数据来源：
  最好要确保 验证集 和 测试集 的数据来自同一分布，因为要用验证集来评估不同的模型，如果验证集和测试集来自同一个分布就会很好

2. 偏差，方差

关键数据：
训练集误差、验证集误差

如果最优误差（贝叶斯误差，人分辨的最优误差）非常高，比如15%。那么上面第二种分类器（训练误差15%，验证误差16%），15%的错误率对训练集来说也是非常合理的，偏差不高，方差也非常低。
（以上基于假设：基本误差很小，训练集和验证集 来自相同分布）

根据这两个指标，更好的优化算法。

3. 机器学习基础

4. 正则化

正则化有助于防止过拟合，降低方差

范数（norm） 几种范数的简单介绍

• L1 范数：$||X|{|}_1=\sum _{i=1}^n|x_i|$ 表示非零元素的绝对值之和
• L2 范数：$||X|{|}_2=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x_i}^2}$ 表示元素的平方和再开方
  矩阵的范数叫做：弗罗贝尼乌斯范数，所有元素的平方和 $||W|{|}_F^2$

加上 L2 正则化 的损失函数：
$$J(\omega ,b)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\mathcal{L}\left({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)}\right)+\frac{\lambda }{2m}\Vert \omega {\Vert }_2^2$$

• L1 正则，权重 w 最终变得稀疏，多数变成 0
• L2 正则，使得权重衰减

$$W^{[l]}=(1-\frac{\alpha \lambda }{m})\ast W^{[l]}-\alpha (梯度)$$
权重不但减少了，还乘以了小于1的系数进行衰减

5. 为什么正则化预防过拟合

$$J(\omega ,b)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\mathcal{L}\left({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)}\right)+\frac{\lambda }{2m}\Vert \omega {\Vert }_2^2$$

当 $\lambda$ 设置的很大的时候，最终 $W$ 会变得很接近于 0，神经网络中的很多单元的作用变得很小，整个网络越来越接近逻辑回归

$\lambda$ 增大时，整个神经网络会计算离线性函数近的值，这个线性函数非常简单，不是复杂的高度非线性函数，不会发生过拟合

L2 正则化是 训练深度学习模型时最常用的一种方法

6. dropout（随机失活）正则化

以上是一个样本的过程，其他样本也是同样的过程。

实施 dropout 举例：最常用的方法 - inverted dropout（反向随机失活）

用一个三层网络举例

• 定义向量 $d$ ，$d^{[3]}$ 表示一个三层的 dropout 向量 d3 = np.random.rand(a3.shape[0],a3.shape[1])，对于元素小于 keep-prob 的，对应为 0，其概率为 1 - keep_prob
• 获取激活函数 $a^{[3]}$, a3 = np.multiply(a3, d3)，使得 $d^{[3]}$ 中为 0 的元素把 $a^{[3]}$ 对应元素归零
• 向外扩展 $a^{[3]}$，a3 /= keep_prob

反向随机失活（inverted dropout）方法通过除以keep-prob，确保 $a^{[3]}$ 的期望值不变

7. 理解 dropout

• 其功能类似于 L2 正则化
• 对于参数集多的层，可以使用较低的 keep-prob 值（不同的层，可以使用不同的值），缺点是：需要交叉验证更多的参数

dropout 一大缺点就是：代价函数不再被明确定义，每次迭代，都会随机移除一些节点，想检查梯度下降的性能，实际上是很难进行复查的

• 可以先关闭dropout，将keep-prob 设置为 1，确保 J 函数单调递减
• 然后再尝试打开dropout

8. 其他正则化

• 数据扩增，假如是图片数据，扩增数据代价高，我们可以：

水平翻转；随意剪裁旋转放大（这种方式扩增数据，进而正则化数据集，减少过拟合成本很低）

对于数字识别图片，我们可以进行旋转，扭曲来扩增数据集

• early stopping
  
  在验证集误差变坏的时候，提早停止训练

early stopping 缺点：不能同时处理 过拟合 和 代价函数不够小的问题

• 提早停止，可能代价函数 J 不够小
• 不提早结束，可能会过拟合

不使用 early stopping ，那么使用 L2 正则，这样训练时间可能很长，参数搜索空间大，计算代价很高

early stopping 优点：只运行一次梯度下降，可以找出 w 的较小值，中间值，较大值，无需尝试 L2 正则化超参数 $\lambda$ 的很多值

9. 归一化输入

归一化输入，可以加速训练

• 零均值（所有的数据减去均值）
• 归一化方差（所有数据除以方差）

注意：$\mu ,{\sigma }^2$ 是由训练集得到，然后用于其他所有数据集

10. 梯度消失 / 梯度爆炸

在非常深的神经网络中，权重只要不等于 1，激活函数将会呈指数级递增或者递减，导致训练难度上升，尤其是梯度与 L 相差指数级，梯度下降算法的步长会非常非常小，学习时间很长。

11. 神经网络权重初始化

上面讲到了梯度消失/爆炸，如何缓解这个问题？

为了预防 z 的值 过大 或 过小，n 越大时，你希望 wi 越小，合理的方法是 $w_i=1/n$，n 是输入特征数量

$w^{[l]}=np.random.randn(shape)\ast np.sqrt(\frac{1}{n^{[l-1]}})$，$n^{[l-1]}$ 是给第 $l$ 层输入的特征数量

• 如果使用ReLu激活函数（最常用），$\ast np.sqrt(\frac{2}{n^{[l-1]}})$
• 如果使用tanh激活函数，$\sqrt{\frac{1}{n^{[l-1]}}}$，或者 $\sqrt{\frac{2}{n^{[l-1]}+n^{[l]}}}$

这样设置的权重矩阵既不会增长过快，也不会太快下降到 0
从而训练出一个权重或梯度不会增长或消失过快的深度网络
我们在训练深度网络时，这也是一个加快训练速度的技巧

12. 梯度的数值逼近

在反向传播时，有个测试叫做梯度检验

我们使用双边误差，
$$f^{\prime }(\theta )=\frac{f(\theta +\epsilon )-f(\theta -\epsilon )}{2\epsilon }$$
不使用单边误差，因为前者更准确。

13. 梯度检验

梯度检验帮助我们发现反向传播中的 bug

$$d{\theta }_{\text{approx }}[i]=\frac{J\left({\theta }_1,{\theta }_2,\dots {\theta }_i+\epsilon ,\dots \right)-J\left({\theta }_1,{\theta }_2,\dots {\theta }_i-\epsilon ,\dots \right)}{2\epsilon }$$

$$d\theta [i]=\frac{\partial J}{\partial {\theta }_i}$$

检验 $d{\theta }_{\text{approx }}[i]\approx d\theta [i]$

$$\frac{{\Vert d{\theta }_{\text{approx }}-d\theta \Vert }_2}{{\Vert d{\theta }_{\text{approx }}\Vert }_2+||d\theta |{|}_2}$$
检查上式的值是否 $<10^{-7}$

14. 梯度检验的注意事项

1. 不要在训练中使用梯度检验，它只用于调试
2. 如果算法的梯度检验失败，要检查所有项，检查每一项，并试着找出bug
3. 如果使用了正则化，计算梯度的时候也要包括正则项
4. 梯度检验不能与dropout同时使用，可以关闭dropout，进行梯度检验，检验正确了，再打开dropout

作业

02.改善深层神经网络：超参数调试、正则化以及优化 W1.深度学习的实践层面（作业：初始化+正则化+梯度检验）

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