svr公式推导_ML-支持向量：SVM、SVC、SVR、SMO原理推导及实现

1.导出目标

2拉格朗日转换

3对偶问题：

因为是希望得出L最小时的一些参数w,b,a，但是目前很难一起求得最佳参数，所以换个思路。因为：

所以能够容易的计算出拉格朗日乘子a约束时的最坏情况是：

但是m个a的值还是无法求出，而后面会得知，根据L对w,b的求导关系，w,b可以被a表示出来，所以关键变为求a。

根据对偶关系，极大值关系可以转为极小值关系，且转换后的问题会不大于原问题，在取得极值的时候才取等号，也就是：

这样问题变为，先把w,b求导关系代入求L极小值关系，最后再寻找a的问题，最后a的求解会通过SMO等思路求解，具体SMO放到最后讲解，因为太难了。

4求对偶问题

1)求L的极小值时的w,b，求导：

得出极小值需满足如上这些关系

2)代入L求导关系式，求关于a的极大值：

所以关键是对这个函数求极大值时的a，假设通过后面的SMO找到了，记为a*，那么显然得到了w的解析式：

5 求b

因为对于所有支持向量点(正例上支持向量点位于WTx+b = 1超平面上，反例WTx+b= -1)记作(xs,ys)，均有:

根据KKT条件：ai>0时，yi(WTxi+b)-1=0：(必定：WTxi+b = 1 或WTxi+b= -1)即xi必须是支持向量点，而ai=0时:

也就是说对w无影响，因此上式中w还可以简化成只考虑支持向量点计算(实际上这就是SVM称为支持向量机的原因，因为模型真正起作用的，就只是这些支持向量点)：

假设我们有S个支持向量(位于WTx+b = 1，WTx+b= -1超平面上的点集)，则对应我们求出S个b∗,理论上这些b∗都可以作为最终的结果，但是我们一般采用一种更健壮的办法，即求出所有支持向量所对应的b∗，然后将其平均值作为最后的结果：

6 得出模型

ai参数求出之后，如上所示，就相当于求出了w,b了。就可以得到模型，进行预测了：

def _f(self, i):

r = self.b

for j in range(self.m):

r += self.alpha[j] * self.Y[j] * self.kernel(self.X[i], self.X[j])

return r

6.1 f(x)的约束条件：

7 核函数

现实中可能有些不存在线性的可分超平面，但是可能映射到更高维度可能就可分了，有证明显示，如果原始空间维度有限，那么一定存在高维特征空间使样本可分。

这样对x的映射关系，可以直接用到上面推导的所有公式里：

原问题映射：

对偶形式映射：

这种映射我们并不知道具体是如何的，因此也不知如何去计算了，所以这里就设想出来核函数的概念了：

def kernel(self, x1, x2):

if self._kernel == 'linear':

return sum([x1[k] * x2[k] for k in range(self.n)])

elif self._kernel == 'poly':

return (sum([x1[k] * x2[k] for k in range(self.n)]) + 1) ** 2

return 0

假设出原来的这种内积映射，是等价于某个函数k(.,.)计算的结果。问题就变成了：

求解后模型为：

核函数性质

k是核函数，当且仅当’核矩阵’K总是半正定：

常见核函数列表：

另外核函数线性组合起来还是核函数(系数为正)，k1,k1,r1>0,r2>0：k3=r1k1+r2k2 也是核函数

7.1 软间隔

讨论软间隔是因为像这种情况，严格分出来(线性不可分了已经，用核函数可以分)是个弯曲的，但实际上应该就是这下面这样一条斜线才是最好的模型表示：

因此办法是，允许在一些情况下出现错误，引入软间隔的概念，在这个软间隔内允许出错。也就是允许不满足约束：

对于不满足的点，我们会累记一个损失函数，再引入惩罚力度因子C，则可以重新定义优化目标：

7.2 松弛变量：

显然，这些损失是常数且>=0，因此引入松弛变量的概念替换原来的损害函数计算结果，重写简化：

上式进行拉格朗日变换：为什么这样：https://blog.csdn.net/jiang425776024/article/details/87607526

同样的求导，对偶和上面4一致，省略。最终得到如下对偶问题：

7.3 KKT约束

可见，与非软间隔的问题相比，仅仅是对约束ai多了一个上界约束，且约束就是

这个约束是有道理的：

a) 如果α=0,那么yi(wTxi+b)−1≥0,即样本在间隔边界上或者已经被正确分类。

b) 如果0

c) 如果α=C，说明这是一个可能比较异常的点，需要检查此时ξi

1)如果0≤ξi≤1,那么点被正确分类，但是却在超平面和自己类别的间隔边界之间

2)如果ξi=1,那么点在分离超平面上，无法被正确分类。

3)如果ξi>1,那么点在超平面的另一侧，也就是说，这个点不能被正常分类

实现代码，判断是否否后KKT条件，True符合，False不符合：

def _KKT(self, i):

y_g = self._g(i) * self.Y[i]

if self.alpha[i] == 0:#a=0:需要yif(xi)-1>=0

return y_g >= 1

elif 0 < self.alpha[i] < self.C: #0

return y_g == 1

else:

return y_g <= 1 #a>=C:异常点,需要0≤ξi≤1满足在区间内yif(xi)<=1

8 SMO求a

8.1对偶问题上，上面已知对偶形式:

8.2.SMO算法思想

在SMO算法中的思想是，每次选择一对变量(αi,αj)进行优化，其余m-2个固定看作是常量, 因为在SVM中，α并不是完全独立的，而是具有约束的:

因此一个只选一个ai，那么ai可以被其它表示。

假设我们选取的两个需要优化的参数为α1,α2, 剩下的α3,α4,…,αm则固定作为常数处理。将SVM优化问题进行展开就可以得到(把与α1,α2无关的项合并成常数项C):(省略了a3+a4+...+am=C，因为其对max函数无意义)

8.2.1更新方法

因为y1,y2只能是1/-1，因此a1,a2的关系被限制在盒子里的一条线段上(只能是a1-a2/a1+a2两种情况)，所以两变量的优化问题实际上仅仅是一个变量的优化问题(一个能由另一个得出)。我们假设是对a2的优化问题,所以只存在2幅图的情况：

1)y1!=y2,则约束a1y1+a2y2=k：a1-a2=k，L，H为约束下a2的最小最大值,为下图

2)y1=y2:

if self.Y[i1] == self.Y[i2]:

L = max(0, self.alpha[i1] + self.alpha[i2] - self.C)

H = min(self.C, self.alpha[i1] + self.alpha[i2])

else:

L = max(0, self.alpha[i2] - self.alpha[i1])

H = min(self.C, self.C + self.alpha[i2] - self.alpha[i1])

def _E(self, i):

return self._f(i) - self.Y[i]

则最优化问题转为更新：

最终更新方式：

剪辑判断：

def _compare(self, _alpha, L, H):

# 剪辑操作

if _alpha > H:

return H

elif _alpha < L:

return L

else:

return _alpha

a1,a2更新：

# 边界

if self.Y[i1] == self.Y[i2]:

L = max(0, self.alpha[i1] + self.alpha[i2] - self.C)

H = min(self.C, self.alpha[i1] + self.alpha[i2])

else:

L = max(0, self.alpha[i2] - self.alpha[i1])

H = min(self.C, self.C + self.alpha[i2] - self.alpha[i1])

E1 = self.E[i1]

E2 = self.E[i2]

eta = self.kernel(self.X[i1], self.X[i1]) + self.kernel(self.X[i2], self.X[i2]) - 2 * self.kernel(

self.X[i1], self.X[i2])

if eta <= 0:

# print('eta <= 0')

continue

alpha2_new_unc = self.alpha[i2] + self.Y[i2] * (E1 - E2) / eta

alpha2_new = self._compare(alpha2_new_unc, L, H)

alpha1_new = self.alpha[i1] + self.Y[i1] * self.Y[i2] * (self.alpha[i2] - alpha2_new)

self.alpha[i1] = alpha1_new

self.alpha[i2] = alpha2_new

8.2.2 推导过程

则：

求导：

代入关系式，添加新旧标记方便迭代更新：

得：

得出上面的更新方式。

8.2.3选两点a1,a2的方法

SMO每个子问题选择两个变量优化，其中至少一个变量是违法KKT条件的。

第1个变量a1的选择

SMO称选择第一个变量的过程为外层循环，外层循环选取违反KKT条件最严重的样本点(xi,yi)对应的ai值作为第一个变量a1；检测是否满足KKT条件(7.3有具体介绍)：

一般，外层循环先遍历所有满足0

第2个变量a2的选择

SMO算法称选择第二一个变量为内层循环，假设我们在外层循环已经找到了α1, 第二个变量α2的选择标准是让|E1−E2|有足够大的变化。8.2.1定义了E(预测值与真实值之差)。由于α1定了的时候,E1也确定了，所以要想|E1−E2|最大，只需要在E1为正时，选择最小的Ei作为E2，在E1为负时，选择最大的Ei作为E2，可以将所有的Ei保存为列表，加快迭代。

如果内存循环找到的点不能让目标函数有足够的下降，可以采用遍历支持向量点来做α2,直到目标函数有足够的下降，如果所有的支持向量做α2都不能让目标函数有足够的下降，可以跳出循环，重新选择α1。

def _init_alpha(self):

# 外层循环首先遍历所有满足0