利用动态规划（DP）解决 Coin Change 问题

问题来源

这是Hackerrank上的一个比较有意思的问题，详见下面的链接：
https://www.hackerrank.com/challenges/ctci-coin-change

问题简述

给定m个不同面额的硬币，C={c₀, c₁, c₂…c_m-1}，找到共有几种不同的组合可以使得数额为n的钱换成等额的硬币（每种硬币可以重复使用）。
比如：给定m=3，C={2,1,3}，n=4，那么共有4种不同的组合可以换算硬币

{1,1,1,1}
{1,1,2}
{2,2}
{1,3}

解决方案

基本思路是从硬币（coins）的角度出发，考虑coins[0]仅使用1次的情况下有几种组合，coins[0]仅使用2次的情况下有几种组合，依次类推，直到 (n - coins[0] * 使用次数) < 0 则终止，而每个 (n - coins[0]) 下又可以递归 (n - coins[0] - coins[1]) 的情况，直到考虑完所有的硬币。
这样说可能还是没有说清楚，下面以m=3，C={1,2,3}，n=4为例，用图来说明一下（建议结合程序一起看）。
coinChange递归图

图1：coin Change不完整递归图上图没有画出完整的递归过程（有点麻烦~偷了个懒），不过把能得出结果的几条路径都描绘出来了。其中，recursion(money, index)中，money指的是还没有进行兑换的钱，index指的是要用哪个coin去兑换，比如这里的0指的是coins[0]=1，1指的是coins[1]=2，2指的是coins[2]=3，3是不存在的，这也是程序的终止条件之一。注意到再递归的过程中有重叠子问题（我用紫色标注出了其中一个），这就可以用动态规划的思想来解决了，创建一块空间来存储已经算过的结果就可以了。 # 程序代码好了，下面直接上程序了，结合图看好理解~

#include <iostream>
#include <unordered_map>
#include <string>
#include <vector>using namespace std;long long recursion(vector<int> &coins, int money, int index, unordered_map<string, int> &memo){//终止条件2个if (0 == money)return 1;if (index >= coins.size() || money < 0)return 0;string key = to_string(money) + " , " + to_string(index);//如果记录中有的话就直接返回就好了if (memo.find(key) != memo.end())return memo[key];long long res = 0;int remaining = money;while(remaining >= 0){res += recursion(coins, remaining, index + 1, memo);remaining -= coins[index];}//记录一下memo[key] = res;return res;
}long long make_change(vector<int> coins, int money) {//用哈希表来记录 <剩下的钱-用的硬币>:换硬币的组合数unordered_map<string, int> memo;long long res = recursion(coins, money, 0, memo);return res;
}int main(){int n;int m;cin >> n >> m;vector<int> coins(m);for(int coins_i = 0;coins_i < m;coins_i++){cin >> coins[coins_i];}cout << make_change(coins, n) << endl;return 0;
}

Sample Input

10 4
2 5 3 6

Sample Output

真正的DP

上面的那段代码是以自顶向下的方式来解决问题的，思路比较清晰，而真正的动态规划是自底向上的，思路其实也差不多，下面给出代码~

long long make_change(vector<int> coins, int money) {vector<long long> memo(money + 1, 0);memo[0] = 1;for (int i = 0; i < coins.size(); i++){for (int j = coins[i]; j <= money; j++){memo[j] += memo[j - coins[i]];}}return memo[money];
}

补充——硬币不能重复使用

如果每种硬币不能重复使用的话，又该怎么办呢？这只需要再程序上做一些小的改动就可以了，真的是非常神奇~
要细细体会一下~

long long make_change(vector<int> coins, int money) {vector<long long> memo(money + 1, 0);memo[0] = 1;for (int i = 0; i < coins.size(); i++){//改动处：由从前往后改成了从后往前，略去了重复的情况for (int j = money; j >= coins[i]; j--){memo[j] += memo[j - coins[i]];}}return memo[money];
}

补充2——不同顺序表示不同组合

然后再来变一变，如果每种硬币可以使用无限多次，但是不同的顺序表示不同的组合，那么又有多少种组合呢？
比如：

coins = [1, 2, 3]
money = 4可能的组合情况有：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)注意，不同的顺序序列表示不同的组合~所以结果是7。

这种情况下的代码是：

long long make_change(vector<int> coins, int money) {vector<long long> memo(money + 1, 0);memo[0] = 1;//改变了里外循环的顺序for (int i = 1; i <=money; i++){for (int j = 0; j < coins.size(); j++){if (i - coins[j] >= 0)memo[i] += memo[i - coins[j]];}}return memo[money];
}