位操作实现加减乘除

一、常见功能的位操作实现：

（1）常用的等式：-n = ~(n-1) = ~n+1；

（2）获取整数n的二进制中最右边一个1：n&(-n)或者n&~(n-1)，如：n=010100，则-n=101100，n&(-n)=000100；

（3）去掉整数n的二进制中最右边一个1：n&(n-1)，如：n=010100，n-1=010011，n&(n-1)=010000。

二、位操作实现加法

1、原理：主要思想是将加法的计算结果分解为两部分：第一是不考虑进位的运算结果，第二是进位，然后再将这两者相加，即得到结果。详细表述如下：

（1）不考虑进位的计算结果，以一位二进制数来表示：

1+1=0

1+0=1

0+1=1

0+0=0

这个过程可以用异或位运算符来表示，即：

1^1=0

1^0=1

0^1=1

0^0=0

则a^b表示不考虑进位的计算结果。

（2）进位，同样以一位二进制数表示：

0+0→不进位

0+1→不进位

1+0→不进位

1+1→进位，即相当于是10，将10加到不考虑进位的计算结果上，即可得到整个的计算结果，而可以用位运算的与操作和向左的移位操作即可模拟上述的是否进位：

0&0=0 (0&0)<<1=0

0&1=0 (0&1)<<1=0

1&0=0 (1&0)<<1=0

1&1=1 (1&1)<<1=10

如此，即将运算结果计算出来了。接下来，需要按照递归的方式将上述思想实现，主要原因是将运算结果分为不考虑进位的运算结果A和进位值B，则计算结果为A+B，但该运算可能还是会产生进位，故将A和B再次采用这种计算方法进行计算，直到进位部分为0，即表示上次加法计算没有进位，则上次加法计算的不考虑进位的运算结果，即为整个加法计算的结果。例子如下：

2、代码实现

（1）不用递归：

int getSum(int a, int b)
{int add, carry;do{add = a^b;carry = (a&b) << 1;a = add;b = carry;} while (carry != 0);return add;
}

（2）递归实现：

int getSum(int a, int b)
{if (!b)return a;elsereturn getSum(a^b, (a&b) << 1);
}

三、位操作实现减法

减法化为加法，即a-b=a+(-b)。代码实现：

int subtraction(int a, int b)
{return getSum(a,getSum(~b,1));
}

四、位操作实现乘法

unsigned int multiply(unsigned int a, unsigned int b)
{int i;int result;for (i = 0; i < 8 * sizeof(unsigned int); i++)//b是被乘数，a是乘数，判断a的二进制中为1的位所在的位置，让b左移相应的位置，然后相加if (a&(1 << i))result += b << i;return result;
}

五、位操作实现除法

int Pos_Div(int x, int y)//  x/y，代码得到结果的整数部分
{int ans = 0;for (int i = 8*sizeof(int)-1; i >= 0; i--){//比较x是否大于y的(1<<i)次方，避免将x与(y<<i)比较，因为不确定y的(1<<i)次方是否溢出  if ((x >> i) >= y){ans += (1 << i);x -= (y << i);}}return ans;
}

代码解释，考虑 8 / 3 ：

8 0000 1000

/ 3 0000 0011

--------------------------

100

if ((x >> i) >= y)//这句代码可以反过来讲，(x >> i) >= y 等价于(x >> i)<<i >= y<<i，即 x>=y<<i，也就是说假如y<<i不溢出，y左移位数如果大于i，y就大于x了;