1. 模态及模态控制的思想

我们知道，系统的时域运动可以由以下方程表示：
$\sum _{i=1} ^n C_i e^{\lambda_i t} = \sum_{i=1} ^n x_i (t)$ 其中的 $e^{\lambda_i t}$ 即为极点 $\lambda_i$ 对应的运动模态。

而模态控制，就是想办法向系统中添加期望的模态，或消除系统中的不良模态，以使系统达到期望的动态特性的控制方法。

2. 控制方法数学推导

设原系统的特征方程为
$\Delta_0 ({\rm s} ) = \det \left( {\rm s} I - A \right) = {\rm s}^n + \sum_{i=1} ^{n-1} a_i {\rm s}^i \tag{1}$ 注意：式(1)为首一式，即第一项（最高幂次项）的系数为1。
相应地，系统的传递函数为
$W_0 ( {\rm s} ) = C^{\rm T} \left( {\rm s} I - A \right)^{-1} B = \frac{M_0 ( {\rm s} )}{\Delta_0 ({\rm s} )}$ 分母即式(1)所示，分子为
$M_0 ( {\rm s} ) = \sum_{i=1} ^m b_i {\rm s}^i$ 一般地，对于实际系统来说，分子的阶次不会超过分母的阶次，即 $\leq n$ 。

在系统的前向通路中，加入一个控制器 ${\rm s} ) = Q ( {\rm s} ) / P ( {\rm s} )$ ，其阶数为 $\nu$ ，即 $\deg P ( {\rm s} ) = \nu$ 。对于实际系统来说，同样有分子阶次不超过分母阶次，即 $\deg Q ( {\rm s} ) \leq \deg P ( {\rm s} )$ 。

将控制器 ${\rm s} )$ 表示为
${\rm s} ) = \frac{Q ( {\rm s} )}{P ( {\rm s} )} = \frac{ \sum_{i=0} ^\nu q_i {\rm s}^i }{ {\rm s}^\nu + \sum_{i=0} ^{\nu-1} p_i {\rm s}^i } \tag{2}$ 注意到这里的分母 $P$ 同样为首一式。

前向通路中加入控制器后，整个新系统的闭环传函可以立即写出：
$\begin{aligned} W ( {\rm s} ) &= \frac{ R ( {\rm s} ) W_0 ( {\rm s} ) }{1 + R ( {\rm s} ) W_0 ( {\rm s} ) } = \frac{M ( {\rm s} ) }{ \Delta ( {\rm s} ) } \\ &= \frac{ \frac{Q ( {\rm s} )}{P ( {\rm s} )} \frac{M_0 ( {\rm s} )}{\Delta_0 ({\rm s} )} }{1 + \frac{Q ( {\rm s} )}{P ( {\rm s} )} \frac{M_0 ( {\rm s} )}{\Delta_0 ({\rm s} )} } \\ &= \frac{Q( {\rm s} ) M_0( {\rm s} )}{P( {\rm s} ) \Delta_0( {\rm s} ) +Q( {\rm s} ) M_0( {\rm s} )} \tag{3} \end{aligned}$ 即
$\Delta ( {\rm s} ) = P( {\rm s} ) \Delta_0( {\rm s} ) +Q( {\rm s} ) M_0( {\rm s} ), \tag{3--1}$ ${\rm s} ) = Q( {\rm s} ) M_0( {\rm s} ) \tag{3--2}$ 下面看式(3–1)和(3–2)的阶数。
对于式(3–1)来说：
$\deg \Delta ( {\rm s} ) = \max \left\{ \deg P( {\rm s} ) + \deg \Delta_0( {\rm s} ), \quad \deg Q( {\rm s} ) + \deg M_0( {\rm s} ) \right\}$ 由于 $\deg P( {\rm s} ) = \nu, \deg \Delta_0( {\rm s} ) = n$ ，而 ${\rm s} )$ 与 $M_0( {\rm s} )$ 均为分子，阶数分别不超过 $\nu$ 与 $n$ ，故
$\deg \Delta ( {\rm s} ) = n + \nu = \bar n \tag{4}$
设期望系统的特征方程为 $\Delta ^* ( {\rm s} )$ ，那么只需要满足
$\Delta ^* ( {\rm s} ) = \Delta ( {\rm s} ) = P( {\rm s} ) \Delta_0( {\rm s} ) +Q( {\rm s} ) M_0( {\rm s} ) \tag{5}$ 即可。解式(5)，即可得到控制器的分子分母 ${\rm s} ), Q( {\rm s} )$ 。

3. 解的几个条件

式(5)解存在的充分必要条件是： $\Delta_0( {\rm s} )$ 与 $M_0( {\rm s} )$ 互质，且 $\bar n \geq 2n - 1$ 。
当 $2\nu + 1 \geq \bar n$ 时，式(5)有无穷个解；只有当 $2\nu + 1 = \bar n$ 时，式(5)有唯一解。
由1可以知，当且仅当 $\nu \geq n-1$ 时，才能通过设置控制器 ${\rm s} )$ 使系统得到期望的极点分布。因此，控制器 ${\rm s} )$ 的最小阶次 $\nu_0 = n-1$ 。

4. 举例计算

设原系统的传函为
$W_0 ({\rm s}) = \frac{k_0}{{\rm s} \left( T{\rm s} + 1 \right) }$ 为其设计模态控制器。

写出其分子分母（注意是首一式）：
$\Delta_0 ( {\rm s} ) = {\rm s} \left( {\rm s} + \frac{1}{T} \right), \qquad M_0 ( {\rm s} ) = \frac{k_0}{T}$ 原系统阶次 $n = 2$ ，则控制器的最小阶次为 $\nu_0 = n-1 = 1$ 。这样总阶次为 $\bar n = n + \nu = 3$ ，即新系统中有3个期望极点。

假设新系统的3个期望极点为 $\lambda_1^* = -\delta, \lambda_2^* = \lambda_3^* = -2 \delta$ （期望极点是人为设计的，根据系统的具体要求而进行的，而非根据系统表现测算的）。那么期望系统的特征方程为
$\Delta^* ( {\rm s} ) = \left( {\rm s} + \delta \right) \left( {\rm s} + 2\delta \right)^2$ 另一方面，由于系统的控制器为一阶的（ $\nu_0 = 1$ ），故可以设
${\rm s} ) = {\rm s} + p_0, \qquad Q ( {\rm s} ) = q_1 {\rm s} + q_0$ 注意其中 ${\rm s} )$ 为首一式。

代入式(5)有
$\Delta ^* ( {\rm s} ) = \Delta ( {\rm s} ) = P( {\rm s} ) \Delta_0( {\rm s} ) +Q( {\rm s} ) M_0( {\rm s} ) \Longrightarrow$ ${\rm s} \left( {\rm s} + \frac{1}{T} \right) \left( {\rm s} + p_0 \right) + \frac{k_0}{T} \left( q_1 {\rm s} + q_0 \right) = \left( {\rm s} + \delta \right) \left( {\rm s} + 2\delta \right)^2$ 将括号展开，对应 ${\rm s}$ 不同阶次的系数，可以得到
$\begin{cases} p_0 + \frac{1}{T} = 5 \delta \\ \frac{p_0}{T} + \frac{k_0}{T} q_1 = 8 \delta^2 \\ \frac{k_0 q_0}{T} = 4 \delta^3 \end{cases}$ 解得
$\begin{cases} p_0 = 5\delta - \frac{1}{T} \\ q_1 = \frac{8 \delta^2 T}{k_0} - \frac{5\delta}{k_0} + \frac{1}{k_0T} \\ q_0 = \frac{4 \delta^3 T}{k_0} \end{cases}$ 则系统的控制器的传递函数为
${\rm s} ) = \frac{Q ( {\rm s} )}{P ( {\rm s} )} = \frac{ \left( \frac{8 \delta^2 T}{k_0} - \frac{5\delta}{k_0} + \frac{1}{k_0T} \right) {\rm s} + \frac{4 \delta^3 T}{k_0} }{{\rm s} + 5\delta - \frac{1}{T} } = \frac{ \left( 8 \delta^2 T^2 - 5\delta T + 1 \right) {\rm s} + 4 \delta^3 T^2 }{ k_0 T {\rm s} + 5\delta k_0 T - k_0 }$