1. 并查集原理

并查表原理是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并及查询问题。并查集的思想是用一个数组表示了整片森林（parent），树的根节点唯一标识了一个集合，我们只要找到了某个元素的树根，就能确定它在哪个集合里。这类问题的抽象数据类型称为并查集(union-find set)。
这个数据结构主要用于解决一些元素分组的问题，比如在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。
并查集怎样使用？并查集是用一个数组来进行表示，其中数组下标用来表示一个个体的编号， 数组中存的元素表示的是该个体在哪一个组，用组中的某个元素表示该组有多少个体。
并查集通常用-1进行初始化，为什么不用0/1…呢？这是因为数组中的元素代表的是该个体在哪一个组，如果用0/1进行初始化，那么如果某个个体是自己一个为一组，但并查集中所表示的又是该个体是0/1组的。
接下来举一个并查集的例子
比如：某天有一个班级需要进行分组完成任务，已知该班有10位同学，将其分成3组，每组分别有5、 3、 2位同学。现在给这些学生进行编号：{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，其中{0,5,7,8,9}，{1,4,6}，{2,3}分别是每组同学的编号，0,1,2分别是每组的组长。接下来用一个并查集来表示该结构。

然后每收一个组员，就将该组员的元素加到组长下面，该组员存放的是组长的下边，如下图所示：0,1,2存放的绝对值就是每组成员的个数。

仔细观察数组中内的变化，可以得出以下结论：

1. 数组的下标对应集合中元素的编号；
2. 数组中如果为负数，负号代表根，数字代表该集合中元素个数；
3. 数组中如果为非负数，代表该元素双亲在数组中的下标。
   每个小组去做相似的任务，但是发现1组长和2组长所带领的小队进度较慢，时间又有些不够，于是让这两个小组合并，2组长任然是一个组长，这是比昂查表发生如下变化：

通过以上例子可知，并查集一般可以解决如下问题：

1. 查找元素属于哪个集合：沿着数组表示树形关系以上一直找到根(即：树中中元素为负数的位置)
2. 查看两个元素是否属于同一个集合：沿着数组表示的树形关系往上一直找到树的根，如果根相同表明在同一个集合，否则不在
3. 将两个集合归并成一个集合：将两个集合中的元素合并，将一个集合名称改成另一个集合的名称
4. 集合的个数：遍历数组，数组中元素为负数的个数即为集合的个数。

2. 并查集实现

接下来用代码来实现如上数据结构。

1. 查找元素属于哪个集合
2. 查看两个元素是否属于同一个集合
3. 将两个集合归并成一个集合
4. 集合的个数

#include <iostream>
#include <vector>
#include <assert.h>
using namespace std;class UnionFindSet
{
public:UnionFindSet(int size):_set(size, -1){}size_t FindRoot(int x) //1.查找元素属于哪个集合{assert(x < _set.size());while (_set[x] >= 0) //可能有两个集合合并，如上述两个组合并的例子;所以需要循环，找到小于0的下标x = _set[x];return x;}bool IsSameRoot(int x1, int x2) //2.查看两个元素是否属于同一个集合{int root1 = FindRoot(x1);int root2 = FindRoot(x2);if (root1 == root2)return true;elsereturn false;}void Union(int x1, int x2) //3.将两个集合合并{int root1 = FindRoot(x1); //先找到两个集合各自的根int root2 = FindRoot(x2);if (root1 != root2) //如果根不相等，则将两个根进行合并{_set[root1] += _set[root2];_set[root2] = root1;}}size_t SetCount() //4.集合的个数{size_t count = 0;for (size_t i = 0; i < _set.size(); ++i){if (_set[i] < 0)++count;}return count;}
private:vector<int> _set;
};

测试代码如下：

void test()
{UnionFindSet st(10);st.Union(0, 5);st.Union(0, 7);st.Union(0, 8);st.Union(0, 9);st.Union(1, 4);st.Union(1, 6);st.Union(2, 3);cout << "4在集合:" << st.FindRoot(4) << endl;cout << "5和7是否在同一个集合中(0/1):" << st.IsSameRoot(5, 7) << endl;cout << "5和6是否在同一个集合中(0/1):" << st.IsSameRoot(5, 6) << endl;cout << "合并前集合的个数:" << st.SetCount() << endl;cout << "合并集合1和集合2" << endl;st.Union(1, 2);cout << "合并后集合的个数:" << st.SetCount() << endl;}

运行结果如下：

3. 并查集应用

3.1 省份数量

1.题目描述：有 n 个城市，其中一些彼此相连，另一些没有相连。如果城市 a 与城市 b 直接相连，且城市 b 与城市 c 直接相连，那么城市 a 与城市 c 间接相连。
省份 是一组直接或间接相连的城市，组内不含其他没有相连的城市。
给你一个 n x n 的矩阵 isConnected ，其中 isConnected[i][j] = 1 表示第 i 个城市和第 j 个城市直接相连，而 isConnected[i][j] = 0 表示二者不直接相连。
返回矩阵中 省份 的数量。

2.题目分析：可以用并查集来实现，对题目进行分析可以知道，要求集合的数量，所以需要上述3集合的合并函数和4集合的数量函数，其中3中又需要1函数，可以简单实现这几个函数，然后遍历题目中isConnected数组，只需要遍历一半即可。
3.代码如下：

class Solution {
public:size_t FindRoot(vector<int>& ufs, int x){while (ufs[x] >= 0)x = ufs[x];return x;}void Union(vector<int>& ufs, int x1, int x2){int root1 = FindRoot(ufs, x1);int root2 = FindRoot(ufs, x2);if (root1 != root2){ufs[root1] += ufs[root2];ufs[root2] = root1;}}size_t UfsCount(vector<int>& ufs){int count = 0;for (auto& x : ufs)if (x < 0)++count;return count;}int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected){int n = isConnected.size();vector<int> ufs(n, -1);//合并相连的城市for (int i = 0; i < n; ++i){for (int j = i + 1; j < n; ++j){if (isConnected[i][j] == 1)Union(ufs, i, j);}}//寻找不相连省份的数量size_t count = UfsCount(ufs);return count;}
};

3.2 等式方程的可满足性

1.题目描述：给定一个由表示变量之间关系的字符串方程组成的数组，每个字符串方程 equations[i] 的长度为 4，并采用两种不同的形式之一：“a==b” 或 “a!=b”。在这里，a 和 b 是小写字母（不一定不同），表示单字母变量名。
只有当可以将整数分配给变量名，以便满足所有给定的方程时才返回 true，否则返回 false。

提示：

1. <= equations.length <= 500
2. equations[i].length == 4
3. equations[i][0] 和 equations[i][3] 是小写字母
4. equations[i][1] 要么是 ‘=’，要么是 ‘!’
5. equations[i][2] 是 ‘=’
   
   2.题目分析：这道题需要合并相等的字母，所以需要函数3和1，由题知equations[i][0] 和 equations[i][3] 是小写字母，所以开辟一个大小为26的数组，把相等的字母合并为一组，再寻找不相等的，如果不相等得两个字母有相同的根，则返回false。

3.代码如下：

class Solution {
public:size_t FindRoot(vector<int>& ufs, int x){while (ufs[x] >= 0)x = ufs[x];return x;}void Union(vector<int>& ufs, int x1, int x2){int root1 = FindRoot(ufs, x1);int root2 = FindRoot(ufs, x2);if (root1 != root2){ufs[root1] += ufs[root2];ufs[root2] = root1;}}bool equationsPossible(vector<string>& equations){vector<int> ufs(26, -1);// 把相等的值加到一个集合中for (auto& str : equations){if (str[1] == '='){Union(ufs, str[0] - 'a', str[3] - 'a');}}// 在遍历一遍，找不相等的，不相等的根一定在一个集合for (auto& str : equations){if (str[1] == '!'){int root1 = FindRoot(ufs, str[0] - 'a');int root2 = FindRoot(ufs, str[3] - 'a');if (root1 == root2){return false;}}}return true;}
};

4. 并查集的优缺点及时间复杂度

并查集这个数据结构的优缺点是

优点：

1. 简单：并查集只需要一个一维数组来存储每个元素的父节点，操作也很简单，一般只需要两个基本函数：find和union。
2. 高效：并查集的时间复杂度主要取决于树的高度，通过一些优化策略，如路径压缩和按秩合并，可以将树的高度控制在对数级别，从而实现近乎常数的查询和合并操作。
3. 灵活：并查集可以用来解决各种涉及到元素分组、连通性、最小生成树等问题，可以根据具体问题进行扩展和修改。

缺点：

1. 动态：并查集只能支持动态添加和合并元素，不能支持删除和分割元素，这限制了它的应用范围。
2. 无序：并查集不能保证每个集合内部的元素是有序的，也不能提供遍历每个集合内部元素的方法，这使得它难以处理一些需要排序或遍历的问题。
3. 单向：并查集只能判断两个元素是否属于同一个集合，不能判断两个元素之间的具体关系，如距离、方向、层次等，这使得它难以处理一些需要细节信息的问题。

时间复杂度
并查集的时间复杂度主要取决于树的高度，通过一些优化策略，如路径压缩和按秩合并，可以将树的高度控制在对数级别，从而实现近乎常数的查询和合并操作。具体来说：
初始化：O(n)，其中n为元素个数。
查找：O(log n)，其中n为元素个数。
合并：O(log n)，其中n为元素个数。