视觉SLAM十四讲（3）：三维空间刚体运动

本章需要掌握的知识点有：旋转矩阵，变换矩阵，四元数，欧拉角定义和数学表达；同时也要掌握Eigen库关于矩阵、几何模块的使用方法。

文章目录

- 3.1 旋转矩阵
- - 3.1.1 点，向量和矩阵的关系
  - 3.1.2 坐标系间的欧式变换
  - 3.1.3 变换矩阵与齐次坐标
- 3.2 Eigen实践
- 3.3 旋转向量和欧拉角（理解）
- - 3.3.1 旋转向量
  - 3.3.2 欧拉角
- 3.4 四元数（常用）
- - 3.4.3 用四元数表示旋转
  - 3.4.4 四元数到其他旋转表示的转换
- 3.6 Eigen几何模块
- - 3.6.1 几何模块数据演示
  - 3.6.2 坐标转换
- 3.7 可视化演示

本章对应视频为： https://www.bilibili.com/video/BV16t411g7FR?p=2

【高翔】视觉SLAM十四讲

3.1 旋转矩阵

3.1.1 点，向量和矩阵的关系

这里相对比较简单，只需要理解向量内积和外积的计算方法即可，向量内积为：
$a⃗⋅b⃗=a⃗Tb⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cosθ\vec{a} \cdot \vec{b}= \vec{a}^T\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|cos{\theta}$
其中 $θ\theta$ 为向量 $a⃗,b⃗\vec{a},\vec{b}$ 之间的夹角，向量内积的结果是一个标量。
外积相对比较复杂，公式为：
$a⃗×b⃗=e⃗1e⃗2e⃗3a1a2a3b1b2a3=[a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1]=[0−a3a2a30−a1−a2a10]b⃗=a⃗∧b⃗{\vec{a}\times\vec{b}}=\begin{array} {||ccc||} \vec{e}_{1}&\vec{e}_{2}&\vec{e}_{3}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&a_{3}\\ \end{array} = \begin{bmatrix}a_2b_3 -a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0& -a_3&a_2 \\ a_3&0&-a_1\\-a_2&a_1&0\end{bmatrix}\vec{b}=\vec{a}\wedge\vec{b}$
外积的结果是一个向量，方向垂直于这两个向量。大小为 $∣a⃗∣∣b⃗∣sinθ|\vec{a}||\vec{b}|sin\theta$ 。这里引入了反对称矩阵，任意向量都有着唯一的一个反对称矩阵，这里为：
$a∧=[0−a3a2a30−a1−a2a10]a\wedge=\begin{bmatrix}0& -a_3&a_2 \\ a_3&0&-a_1\\-a_2&a_1&0\end{bmatrix}$

3.1.2 坐标系间的欧式变换

这里引入了旋转矩阵 $R\R$ 的概念，描述了向量从一组基中如何旋转变换到另一组基，旋转矩阵是一个行列式为1的正交矩阵，反之，行列式为1的正交矩阵也是一个旋转矩阵。
除了旋转变换外，还有平移，因此世界坐标系中的向量 $a⃗\vec{a}$ ，经过一次旋转（用 $R\R$ 描述）和一次平移 $t$ 后，得到了新的向量 $a^{'}$ 。
$a^{'}=Ra+t$

3.1.3 变换矩阵与齐次坐标

这里引入齐次坐标和变换矩阵，对于上式可得：
$[a′1]=[Rt0T1]=T[a1]\begin{bmatrix}a^{'}\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R&t\\0^{T}&1\end{bmatrix}=T\begin{bmatrix}a\\1\end{bmatrix}$
这里将旋转和平移写在了一个矩阵里，整个关系变为线性关系，矩阵 $T$ 为变换矩阵。变换矩阵的逆矩阵为：
$T−1=[RT−RTt0T1]T^{-1}=\begin{bmatrix}R^T&-R^Tt\\0^{T}&1\end{bmatrix}$

3.2 Eigen实践

下面介绍了`Eigen关于向量，矩阵的使用。

#include <iostream>using namespace std;#include <ctime>
// Eigen 核心部分
#include <Eigen/Core>
// 稠密矩阵的代数运算（逆，特征值等）
#include <Eigen/Dense>using namespace Eigen;#define MATRIX_SIZE 50/****************************
* 本程序演示了 Eigen 基本类型的使用
****************************/int main(int argc, char **argv) {// Eigen 中所有向量和矩阵都是Eigen::Matrix，它是一个模板类。它的前三个参数为：数据类型，行，列// 声明一个2*3的float矩阵Matrix<float, 2, 3> matrix_23;// 同时，Eigen 通过 typedef 提供了许多内置类型，不过底层仍是Eigen::Matrix// 例如 Vector3d 实质上是 Eigen::Matrix<double, 3, 1>，即三维向量Vector3d v_3d;// 这是一样的Matrix<float, 3, 1> vd_3d;// Matrix3d 实质上是 Eigen::Matrix<double, 3, 3>Matrix3d matrix_33 = Matrix3d::Zero(); //初始化为零// 如果不确定矩阵大小，可以使用动态大小的矩阵Matrix<double, Dynamic, Dynamic> matrix_dynamic;// 更简单的MatrixXd matrix_x;// 这种类型还有很多，我们不一一列举// 下面是对Eigen阵的操作// 输入数据（初始化）matrix_23 << 1, 2, 3, 4, 5, 6;// 输出cout << "matrix 2x3 from 1 to 6: \n" << matrix_23 << endl;// 用()访问矩阵中的元素cout << "print matrix 2x3: " << endl;for (int i = 0; i < 2; i++) {for (int j = 0; j < 3; j++) cout << matrix_23(i, j) << "\t";cout << endl;}// 矩阵和向量相乘（实际上仍是矩阵和矩阵）v_3d << 3, 2, 1;vd_3d << 4, 5, 6;// 但是在Eigen里你不能混合两种不同类型的矩阵，像这样是错的// Matrix<double, 2, 1> result_wrong_type = matrix_23 * v_3d;// 应该显式转换Matrix<double, 2, 1> result = matrix_23.cast<double>() * v_3d;cout << "[1,2,3;4,5,6]*[3,2,1]=" << result.transpose() << endl;Matrix<float, 2, 1> result2 = matrix_23 * vd_3d;cout << "[1,2,3;4,5,6]*[4,5,6]: " << result2.transpose() << endl;// 同样你不能搞错矩阵的维度// 试着取消下面的注释，看看Eigen会报什么错// Eigen::Matrix<double, 2, 3> result_wrong_dimension = matrix_23.cast<double>() * v_3d;// 一些矩阵运算// 四则运算就不演示了，直接用+-*/即可。matrix_33 = Matrix3d::Random();      // 随机数矩阵cout << "random matrix: \n" << matrix_33 << endl;cout << "transpose: \n" << matrix_33.transpose() << endl;      // 转置cout << "sum: " << matrix_33.sum() << endl;            // 各元素和cout << "trace: " << matrix_33.trace() << endl;          // 迹cout << "times 10: \n" << 10 * matrix_33 << endl;               // 数乘cout << "inverse: \n" << matrix_33.inverse() << endl;        // 逆cout << "det: " << matrix_33.determinant() << endl;    // 行列式// 特征值// 实对称矩阵可以保证对角化成功SelfAdjointEigenSolver<Matrix3d> eigen_solver(matrix_33.transpose() * matrix_33);cout << "Eigen values = \n" << eigen_solver.eigenvalues() << endl;cout << "Eigen vectors = \n" << eigen_solver.eigenvectors() << endl;// 解方程// 我们求解 matrix_NN * x = v_Nd 这个方程// N的大小在前边的宏里定义，它由随机数生成// 直接求逆自然是最直接的，但是求逆运算量大Matrix<double, MATRIX_SIZE, MATRIX_SIZE> matrix_NN= MatrixXd::Random(MATRIX_SIZE, MATRIX_SIZE);matrix_NN = matrix_NN * matrix_NN.transpose();  // 保证半正定Matrix<double, MATRIX_SIZE, 1> v_Nd = MatrixXd::Random(MATRIX_SIZE, 1);clock_t time_stt = clock(); // 计时// 直接求逆Matrix<double, MATRIX_SIZE, 1> x = matrix_NN.inverse() * v_Nd;cout << "time of normal inverse is "<< 1000 * (clock() - time_stt) / (double) CLOCKS_PER_SEC << "ms" << endl;cout << "x = " << x.transpose() << endl;// 通常用矩阵分解来求，例如QR分解，速度会快很多time_stt = clock();x = matrix_NN.colPivHouseholderQr().solve(v_Nd);cout << "time of Qr decomposition is "<< 1000 * (clock() - time_stt) / (double) CLOCKS_PER_SEC << "ms" << endl;cout << "x = " << x.transpose() << endl;// 对于正定矩阵，还可以用cholesky分解来解方程time_stt = clock();x = matrix_NN.ldlt().solve(v_Nd);cout << "time of ldlt decomposition is "<< 1000 * (clock() - time_stt) / (double) CLOCKS_PER_SEC << "ms" << endl;cout << "x = " << x.transpose() << endl;return 0;
}

CMakeLists.txt文件：

cmake_minimum_required(VERSION 2.8)
project(useEigen)set(CMAKE_BUILD_TYPE "Release")
set(CMAKE_CXX_FLAGS "-O3")# 添加Eigen头文件
include_directories("/usr/include/eigen3")
add_executable(eigenMatrix eigenMatrix.cpp)

执行结果：

matrix 2x3 from 1 to 6: 
1 2 3
4 5 6
print matrix 2x3: 
1	2	3	
4	5	6	
[1,2,3;4,5,6]*[3,2,1]=10 28
[1,2,3;4,5,6]*[4,5,6]: 32 77
random matrix: 0.680375   0.59688 -0.329554
-0.211234  0.823295  0.5364590.566198 -0.604897 -0.444451
transpose: 0.680375 -0.211234  0.5661980.59688  0.823295 -0.604897
-0.329554  0.536459 -0.444451
sum: 1.61307
trace: 1.05922
times 10: 6.80375   5.9688 -3.29554
-2.11234  8.23295  5.364595.66198 -6.04897 -4.44451
inverse: 
-0.198521   2.22739    2.83571.00605 -0.555135  -1.41603-1.62213   3.59308   3.28973
det: 0.208598
Eigen values = 
0.02428990.9921541.80558
Eigen vectors = 
-0.549013 -0.735943  0.3961980.253452 -0.598296 -0.760134
-0.796459  0.316906 -0.514998
time of normal inverse is 0.454ms
x = -55.7896 -298.793  130.113 -388.455 -159.312  160.654 -40.0416 -193.561  155.844  181.144  185.125 -62.778619.8333 -30.8772 -200.746  55.8385 -206.604  26.3559 -14.6789  122.719 -221.449   26.233  -318.95 -78.6931       50.1446  87.1986 -194.922  132.319  -171.78 -4.19736   11.876 -171.779  48.3047  84.1812 -104.958 -47.2103 -57.4502 -48.9477 -19.4237  28.9419  111.421  92.1237 -288.248 -23.3478  -275.22 -292.062  -92.698  5.96847 -93.6244  109.734
time of Qr decomposition is 0.078ms
x = -55.7896 -298.793  130.113 -388.455 -159.312  160.654 -40.0416 -193.561  155.844  181.144  185.125 -62.7786 19.8333 -30.8772 -200.746  55.8385 -206.604  26.3559 -14.6789  122.719 -221.449   26.233  -318.95 -78.6931  50.1446  87.1986 -194.922  132.319  -171.78 -4.19736   11.876 -171.779  48.3047  84.1812 -104.958 -47.2103 -57.4502 -48.9477 -19.4237  28.9419  111.421  92.1237 -288.248 -23.3478  -275.22 -292.062  -92.698  5.96847  -93.6244  109.734
time of ldlt decomposition is 0.021ms
x = -55.7896 -298.793  130.113 -388.455 -159.312  160.654 -40.0416 -193.561  155.844  181.144  185.125 -62.7786  19.8333 -30.8772 -200.746  55.8385 -206.604  26.3559 -14.6789  122.719 -221.449   26.233  -318.95 -78.6931  50.1446  87.1986 -194.922  132.319  -171.78 -4.19736   11.876 -171.779  48.3047  84.1812 -104.958 -47.2103 -57.4502 -48.9477 -19.4237  28.9419  111.421  92.1237 -288.248 -23.3478  -275.22 -292.062  -92.698  5.96847 -93.6244  109.734

3.3 旋转向量和欧拉角（理解）

3.3.1 旋转向量

旋转矩阵使用9个变量来描述旋转，显得有些冗余；同样变换矩阵使用16个变量来描述变换，也是很冗余。因此有没有一种方式能够紧凑的描述旋转和平移呢？
一次旋转只有3个自由度，因此这里引入了旋转向量，它的方向与旋转轴一致，长度等于旋转角，这样就可以使用一个三维向量来描述旋转。
从旋转矩阵到旋转向量的过程需要罗德里格斯公式转换，这里直接给出旋转矩阵和旋转向量之间的转换关系：
$R=cosθI+(1−cosθ)nnT+sinθn∧R=cos{\theta}I+(1-cos{\theta})nn^{T}+sin{\theta}n\wedge$
这里， $R$ 为旋转矩阵， $n$ 为一个单位长度的向量， $θ\theta$ 为角度。对上式两边取迹，可以求出转角：
$θ=arccostr(R)−12\theta=arccos{\frac{tr(R)-1}{2}}$
因为，旋转轴上的向量在旋转后不发生变化，可得：
$R n = n$
因此， $n$ 为矩阵 $R$ 特征值为1对应的特征向量，再归一化，即可求出旋转向量。

3.3.2 欧拉角

欧拉角其实就是3个分离的转角，常见的有绕物体的 $Z$ 轴旋转的偏航角(yaw)，绕 $Y$ 旋转的俯仰角(pitch)，绕 $X$ 轴旋转的滚转角(roll)。
工程上常会听到 $r p y$ 角，对应的旋转顺序为 $Z Y X$ 。

3.4 四元数（常用）

3.4.3 用四元数表示旋转

四元数由实部和虚部组成，常见形式为： $q=q_0+q_1i+q_2j+q_3k$ 。关于四元数的运算这里不展开了，就是普通复数运算。
那么如何使用四元数来表达一个点的旋转呢？假设有一个空间三维点 $p = [x, y, z]$ ，以及一个单位四元数 $q$ 指定的旋转，三维点 $p$ 经过旋转之后变为 $p^{'}$ 。用矩阵描述的话，则二者关系为 $p^{'} = R p$ ，用四元数表示则为：
$p=[0,x,y,z]^{T}=[0,v]^{T},p'=qpq^{-1}$
最后 $p^{'}$ 的虚部为旋转之后的坐标。

3.4.4 四元数到其他旋转表示的转换

这里总结四元数到旋转矩阵之间的关系，设四元数为： $q=[s,v]^{T}$ ，则：
$R=vvT+s2I+2sv∧+(v∧)2R=vv^{T}+s^2I+2sv\wedge+(v\wedge)^2$
四元数到旋转向量之间的关系
$θ=2arccosq0[nx,ny,nz]T=[q1,q2,q3]T/sinθ2\theta=2arccosq_0\\ [n_x,n_y,n_z]^T=[q_1,q_2,q_3]^T/sin{\frac{\theta}{2}}$

3.6 Eigen几何模块

3.6.1 几何模块数据演示

这里给出如何使用Eigen库进行四元数、旋转矩阵、欧拉角、旋转向量的运算。

#include <iostream>
#include <cmath>using namespace std;#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>using namespace Eigen;// 本程序演示了 Eigen 几何模块的使用方法int main(int argc, char **argv) {// Eigen/Geometry 模块提供了各种旋转和平移的表示// 3D 旋转矩阵直接使用 Matrix3d 或 Matrix3fMatrix3d rotation_matrix = Matrix3d::Identity();// 旋转向量使用 AngleAxis, 它底层不直接是Matrix，但运算可以当作矩阵（因为重载了运算符）AngleAxisd rotation_vector(M_PI / 4, Vector3d(0, 0, 1));     //沿 Z 轴旋转 45 度cout.precision(3);cout << "rotation matrix =\n" << rotation_vector.matrix() << endl;   //用matrix()转换成矩阵// 也可以直接赋值rotation_matrix = rotation_vector.toRotationMatrix();// 用 AngleAxis 可以进行坐标变换Vector3d v(1, 0, 0);Vector3d v_rotated = rotation_vector * v;cout << "(1,0,0) after rotation (by angle axis) = " << v_rotated.transpose() << endl;// 或者用旋转矩阵v_rotated = rotation_matrix * v;cout << "(1,0,0) after rotation (by matrix) = " << v_rotated.transpose() << endl;// 欧拉角: 可以将旋转矩阵直接转换成欧拉角Vector3d euler_angles = rotation_matrix.eulerAngles(2, 1, 0); // ZYX顺序，即yaw-pitch-roll顺序cout << "yaw pitch roll = " << euler_angles.transpose() << endl;// 欧氏变换矩阵使用 Eigen::IsometryIsometry3d T = Isometry3d::Identity();                // 虽然称为3d，实质上是4＊4的矩阵T.rotate(rotation_vector);                                     // 按照rotation_vector进行旋转T.pretranslate(Vector3d(1, 3, 4));                     // 把平移向量设成(1,3,4)cout << "Transform matrix = \n" << T.matrix() << endl;// 用变换矩阵进行坐标变换Vector3d v_transformed = T * v;                              // 相当于R*v+tcout << "v tranformed = " << v_transformed.transpose() << endl;// 对于仿射和射影变换，使用 Eigen::Affine3d 和 Eigen::Projective3d 即可，略// 四元数// 可以直接把AngleAxis赋值给四元数，反之亦然Quaterniond q = Quaterniond(rotation_vector);cout << "quaternion from rotation vector = " << q.coeffs().transpose()<< endl;   // 请注意coeffs的顺序是(x,y,z,w),w为实部，前三者为虚部// 也可以把旋转矩阵赋给它q = Quaterniond(rotation_matrix);cout << "quaternion from rotation matrix = " << q.coeffs().transpose() << endl;// 使用四元数旋转一个向量，使用重载的乘法即可v_rotated = q * v; // 注意数学上是qvq^{-1}cout << "(1,0,0) after rotation = " << v_rotated.transpose() << endl;// 用常规向量乘法表示，则应该如下计算cout << "should be equal to " << (q * Quaterniond(0, 1, 0, 0) * q.inverse()).coeffs().transpose() << endl;return 0;
}

3.6.2 坐标转换

这是坐标转换的小例子，显示了不同坐标系下的点的坐标转换。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>using namespace std;
using namespace Eigen;int main(int argc, char** argv) {Quaterniond q1(0.35, 0.2, 0.3, 0.1), q2(-0.5, 0.4, -0.1, 0.2);q1.normalize();q2.normalize();Vector3d t1(0.3, 0.1, 0.1), t2(-0.1, 0.5, 0.3);Vector3d p1(0.5, 0, 0.2);Isometry3d T1w(q1), T2w(q2);T1w.pretranslate(t1);T2w.pretranslate(t2);Vector3d p2 = T2w * T1w.inverse() * p1;cout << endl << p2.transpose() << endl;return 0;
}

3.7 可视化演示

这是一个显示运动轨迹的程序：

#include <pangolin/pangolin.h>
#include <Eigen/Core>
#include <unistd.h>// 本例演示了如何画出一个预先存储的轨迹using namespace std;
using namespace Eigen;// path to trajectory file
string trajectory_file = "./examples/trajectory.txt";void DrawTrajectory(vector<Isometry3d, Eigen::aligned_allocator<Isometry3d>>);int main(int argc, char **argv) {vector<Isometry3d, Eigen::aligned_allocator<Isometry3d>> poses;ifstream fin(trajectory_file);if (!fin) {cout << "cannot find trajectory file at " << trajectory_file << endl;return 1;}while (!fin.eof()) {double time, tx, ty, tz, qx, qy, qz, qw;fin >> time >> tx >> ty >> tz >> qx >> qy >> qz >> qw;Isometry3d Twr(Quaterniond(qw, qx, qy, qz));Twr.pretranslate(Vector3d(tx, ty, tz));poses.push_back(Twr);}cout << "read total " << poses.size() << " pose entries" << endl;// draw trajectory in pangolinDrawTrajectory(poses);return 0;
}/*******************************************************************************************/
void DrawTrajectory(vector<Isometry3d, Eigen::aligned_allocator<Isometry3d>> poses) {// create pangolin window and plot the trajectorypangolin::CreateWindowAndBind("Trajectory Viewer", 1024, 768);glEnable(GL_DEPTH_TEST);glEnable(GL_BLEND);glBlendFunc(GL_SRC_ALPHA, GL_ONE_MINUS_SRC_ALPHA);pangolin::OpenGlRenderState s_cam(pangolin::ProjectionMatrix(1024, 768, 500, 500, 512, 389, 0.1, 1000),pangolin::ModelViewLookAt(0, -0.1, -1.8, 0, 0, 0, 0.0, -1.0, 0.0));pangolin::View &d_cam = pangolin::CreateDisplay().SetBounds(0.0, 1.0, 0.0, 1.0, -1024.0f / 768.0f).SetHandler(new pangolin::Handler3D(s_cam));while (pangolin::ShouldQuit() == false) {glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);d_cam.Activate(s_cam);glClearColor(1.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f);glLineWidth(2);for (size_t i = 0; i < poses.size(); i++) {// 画每个位姿的三个坐标轴Vector3d Ow = poses[i].translation();Vector3d Xw = poses[i] * (0.1 * Vector3d(1, 0, 0));Vector3d Yw = poses[i] * (0.1 * Vector3d(0, 1, 0));Vector3d Zw = poses[i] * (0.1 * Vector3d(0, 0, 1));glBegin(GL_LINES);glColor3f(1.0, 0.0, 0.0);glVertex3d(Ow[0], Ow[1], Ow[2]);glVertex3d(Xw[0], Xw[1], Xw[2]);glColor3f(0.0, 1.0, 0.0);glVertex3d(Ow[0], Ow[1], Ow[2]);glVertex3d(Yw[0], Yw[1], Yw[2]);glColor3f(0.0, 0.0, 1.0);glVertex3d(Ow[0], Ow[1], Ow[2]);glVertex3d(Zw[0], Zw[1], Zw[2]);glEnd();}// 画出连线for (size_t i = 0; i < poses.size(); i++) {glColor3f(0.0, 0.0, 0.0);glBegin(GL_LINES);auto p1 = poses[i], p2 = poses[i + 1];glVertex3d(p1.translation()[0], p1.translation()[1], p1.translation()[2]);glVertex3d(p2.translation()[0], p2.translation()[1], p2.translation()[2]);glEnd();}pangolin::FinishFrame();usleep(5000);   // sleep 5 ms}
}