目录

1）什么是Bandit算法

为选择而生。

Bandit算法与推荐系统

怎么选择Bandit算法？

2)常用Bandit算法

Thompson sampling算法

UCB算法

Epsilon-Greedy算法

Greedy算法

3）Bandit算法Python实战

参考资料：

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推荐系统里面有两个经典问题：EE和冷启动。Bandit算法是一种简单的在线学习算法，常常用于尝试解决这两个问题，本文为你介绍基础的Bandit算法原理及Python实战。

1）什么是Bandit算法

为选择而生。

我们会遇到很多选择的场景。上哪个大学，学什么专业，去哪家公司，中午吃什么等等。这些事情，都让选择困难症的我们头很大。那么，有算法能够很好地对付这些问题吗？

当然有！那就是Bandit算法。

Bandit算法来源于历史悠久的赌博学，它要解决的问题是这样的：

一个赌徒，要去摇老虎机，走进赌场一看，一排老虎机，外表一模一样，但是每个老虎机吐钱的概率可不一样，他不知道每个老虎机吐钱的概率分布是什么，那么每次该选择哪个老虎机可以做到最大化收益呢？这就是多臂赌博机问题（Multi-armed bandit problem, K-armed bandit problem, MAB）。如下图所示：

怎么解决这个问题呢？最好的办法是去试一试，不是盲目地试，而是有策略地快速试一试，这些策略就是Bandit算法。

这个多臂问题，推荐系统里很多问题都与它类似：

1. 假设一个用户对不同类别的内容感兴趣程度不同，那么我们的推荐系统初次见到这个用户时，怎么快速地知道他对每类内容的感兴趣程度？这就是推荐系统的冷启动。
2. 假设我们有若干广告库存，怎么知道该给每个用户展示哪个广告，从而获得最大的点击收益？是每次都挑效果最好那个么？那么新广告如何才有出头之日？
3. 我们的算法工程师又想出了新的模型，有没有比A/B test更快的方法知道它和旧模型相比谁更靠谱？
4. 如果只是推荐已知的用户感兴趣的物品，如何才能科学地冒险给他推荐一些新鲜的物品？

Bandit算法与推荐系统

在推荐系统领域里，有两个比较经典的问题常被人提起，一个是EE问题，另一个是用户冷启动问题。

什么是EE问题？又叫exploit－explore问题。exploit就是：对用户比较确定的兴趣，当然要利用开采迎合，好比说已经挣到的钱，当然要花；explore就是：光对着用户已知的兴趣使用，用户很快会腻，所以要不断探索用户新的兴趣才行，这就好比虽然有一点钱可以花了，但是还得继续搬砖挣钱，不然花完了就得喝西北风。

用户冷启动问题，也就是面对新用户时，如何能够通过若干次实验，猜出用户的大致兴趣。

我想，屏幕前的你已经想到了，推荐系统冷启动可以用Bandit算法来解决一部分。

这两个问题本质上都是如何选择用户感兴趣的主题进行推荐，比较符合Bandit算法背后的MAB问题。

比如，用Bandit算法解决冷启动的大致思路如下：用分类或者Topic来表示每个用户兴趣，也就是MAB问题中的臂（Arm），我们可以通过几次试验，来刻画出新用户心目中对每个Topic的感兴趣概率。这里，如果用户对某个Topic感兴趣（提供了显式反馈或隐式反馈），就表示我们得到了收益，如果推给了它不感兴趣的Topic，推荐系统就表示很遗憾（regret）了。如此经历“选择-观察-更新-选择”的循环，理论上是越来越逼近用户真正感兴趣的Topic的，

怎么选择Bandit算法？

现在来介绍一下Bandit算法怎么解决这类问题的。Bandit算法需要量化一个核心问题：错误的选择到底有多大的遗憾？能不能遗憾少一些？

王家卫在《一代宗师》里寄出一句台词：

人生要是无憾，那多无趣？

而我说：算法要是无憾，那应该是过拟合了。

所以说：怎么衡量不同Bandit算法在解决多臂问题上的效果？首先介绍一个概念，叫做累积遗憾（regret）：

图2 积累遗憾

这个公式就是计算Bandit算法的累积遗憾，解释一下：

首先，这里我们讨论的每个臂的收益非0即1，也就是伯努利收益。

然后，每次选择后，计算和最佳的选择差了多少，然后把差距累加起来就是总的遗憾。

wB(i)是第i次试验时被选中臂的期望收益， w*是所有臂中的最佳那个，如果上帝提前告诉你，我们当然每次试验都选它，问题是上帝不告诉你，所以就有了Bandit算法，我们就有了这篇文章。

这个公式可以用来对比不同Bandit算法的效果：对同样的多臂问题，用不同的Bandit算法试验相同次数，看看谁的regret增长得慢。

那么到底不同的Bandit算法有哪些呢？

2)常用Bandit算法

Thompson sampling算法

Thompson sampling算法简单实用，因为它只有一行代码就可以实现[3]。简单介绍一下它的原理，要点如下：

1. 假设每个臂是否产生收益，其背后有一个概率分布，产生收益的概率为p。
2. 我们不断地试验，去估计出一个置信度较高的“概率p的概率分布”就能近似解决这个问题了。
3. 怎么能估计“概率p的概率分布”呢？ 答案是假设概率p的概率分布符合beta(wins, lose)分布，它有两个参数: wins, lose。
4. 每个臂都维护一个beta分布的参数。每次试验后，选中一个臂，摇一下，有收益则该臂的wins增加1，否则该臂的lose增加1。
5. 每次选择臂的方式是：用每个臂现有的beta分布产生一个随机数b，选择所有臂产生的随机数中最大的那个臂去摇。

UCB算法

UCB算法全称是Upper Confidence Bound（置信区间上界），它的算法步骤如下[4]：

• 初始化：先对每一个臂都试一遍；
• 按照如下公式计算每个臂的分数，然后选择分数最大的臂作为选择：

图3 UCB算法

• 观察选择结果，更新t和Tjt。其中加号前面是这个臂到目前的收益均值，后面的叫做bonus，本质上是均值的标准差，t是目前的试验次数，Tjt是这个臂被试次数。

这个公式反映一个特点：均值越大，标准差越小，被选中的概率会越来越大，同时哪些被选次数较少的臂也会得到试验机会。

Epsilon-Greedy算法

这是一个朴素的Bandit算法，有点类似模拟退火的思想：

1. 选一个（0,1）之间较小的数作为epsilon；
2. 每次以概率epsilon做一件事：所有臂中随机选一个；
3. 每次以概率1-epsilon 选择截止到当前，平均收益最大的那个臂。

是不是简单粗暴？epsilon的值可以控制对Exploit和Explore的偏好程度。越接近0，越保守，只想花钱不想挣钱。

Greedy算法

先随机试若干次，计算每个臂的平均收益，一直选均值最大那个臂。这个算法是人类在实际中最常采用的，不可否认，它还是比随机乱猜要好。

3）Bandit算法Python实战

下面是我们模拟10000次的实验各种算法对比，可以看出Thompson算法效果是最好的。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math#老虎机个数
number_of_bandits=10
#每个老虎机的臂数
number_of_arms=10
#尝试数
number_of_pulls=10000
#eps
epsilon=0.3
#最小的decay
min_temp = 0.1
#衰减率
decay_rate=0.999def pick_arm(q_values,counts,strategy,success,failure):global epsilon#随机返回一个臂if strategy=="random":return np.random.randint(0,len(q_values))#贪心算法,每次都选取收益最大的那个臂if strategy=="greedy":best_arms_value = np.max(q_values)#返回收益最大的臂的位置best_arms = np.argwhere(q_values==best_arms_value).flatten()#返回自身最大臂# 等价于return best_arms[0]return best_arms[np.random.randint(0,len(best_arms))]#加epsilon,egreedy中，epsilon不变，egreedy_decay，epsilon变化if strategy=="egreedy" or strategy=="egreedy_decay": if  strategy=="egreedy_decay": epsilon=max(epsilon*decay_rate,min_temp)if np.random.random() > epsilon:best_arms_value = np.max(q_values)best_arms = np.argwhere(q_values==best_arms_value).flatten()return best_arms[np.random.randint(0,len(best_arms))]else:#以epsilon的概率随机选取一个臂return np.random.randint(0,len(q_values))#ucb,按照ucb公式，算每个臂的收益,取最大的收益的臂/1000次除以10=1000if strategy=="ucb":total_counts = np.sum(counts)q_values_ucb = q_values + np.sqrt(np.reciprocal(counts+0.001)*2*math.log(total_counts+1.0))best_arms_value = np.max(q_values_ucb)best_arms = np.argwhere(q_values_ucb==best_arms_value).flatten()return best_arms[np.random.randint(0,len(best_arms))]#thompson,利用beta分布选择臂if strategy=="thompson":sample_means = np.zeros(len(counts))for i in range(len(counts)):sample_means[i]=np.random.beta(success[i]+1,failure[i]+1)return np.argmax(sample_means)fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
for st in ["greedy","random","egreedy","egreedy_decay","ucb","thompson"]:#定义 bandits个数*拉的次数的数组（10,10000）best_arm_counts = np.zeros((number_of_bandits,number_of_pulls))#对于每个老虎机来说(0,10)for i in range(number_of_bandits):#随机一个老虎机10个臂的收益w，保存最大收益arm_means = np.random.rand(number_of_arms)best_arm = np.argmax(arm_means)#初始化臂的收益(10)为零q_values = np.zeros(number_of_arms)#初始化臂的拉动次数(10次)counts = np.zeros(number_of_arms)#初始化臂的成功次数success=np.zeros(number_of_arms)#初始化臂的失败次数failure=np.zeros(number_of_arms)#对于每次拉动for j in range(number_of_pulls):#根据不同的策略，选择臂aa = pick_arm(q_values,counts,st,success,failure)#当前臂a的收益,二项分布，收益为1或0reward = np.random.binomial(1,arm_means[a])#臂的次数+1counts[a]+=1.0#更新当前臂的收益(平均收益)q_values[a]+= (reward-q_values[a])/counts[a]#记录成功的收益success[a]+=reward#记录失败的收益failure[a]+=(1-reward)#更新best_arm_counts[i][j]best_arm_counts[i][j] = counts[best_arm]*100.0/(j+1)epsilon=0.3#横纵坐标ys = np.mean(best_arm_counts,axis=0)xs = range(len(ys))ax.plot(xs, ys,label = st)plt.xlabel('Steps')
plt.ylabel('Optimal pulls')plt.tight_layout()
plt.legend()
plt.ylim((0,110))
plt.show() 

参考资料：

[1] https://blog.csdn.net/heyc861221/article/details/80129310

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Thompson_sampling

[3] http://nbviewer.jupyter.org/github/CamDavidsonPilon/Probabilistic-Programming-and-Bayesian-Methods-for-Hackers/blob/master/Chapter6_Priorities/Chapter6.ipynb#

[4] https://blog.csdn.net/a358463121/article/details/52562940

[5] https://blog.csdn.net/z1185196212/article/details/53374194