【问题描述】[中等]

爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278

【解答思路】

1. 动态规划

时间复杂度：O(N+KW) 空间复杂度：O(K + W )

class Solution {public double new21Game(int N, int K, int W) {if (K == 0) {return 1.0;}double[] dp = new double[K + W + 1];for (int i = K; i <= N && i < K + W; i++) {dp[i] = 1.0;}for (int i = K - 1; i >= 0; i--) {for (int j = 1; j <= W; j++) {dp[i] += dp[i + j] / W;}}return dp[0];}
}

2. 动态规划优化

时间复杂度：O((min(N,K+W)) 空间复杂度：O(K+W)

 public double new21Game(int N, int K, int W) {if( K == 0){return 1.0;}double[] dp = new double[K+W+1];//边界考虑清晰 部分变1for( int i =K ;i<=N && i<K+W ;i++){dp[i]= 1.0;}//公式推导简化dp[K-1] = 1.0*Math.min(N-K+1,W)/W;//差分公式 K-1额外计算for(int i = K-2 ; i>=0 ;i--){dp[i] = dp[i+1]- (dp[i+W+1] -dp[i+1])/W;}return dp[0];}

换语言表达

【总结】

1.本题采用由结果推向答案的（尾到头）思想 ，应该属于后验概率

2.动态规划

动态规划流程
第 1 步：设计状态
第 2 步：状态转移方程
第 3 步：考虑初始化
第 4 步：考虑输出
第 5 步：考虑是否可以状态压缩

3. 动态规划思考

• 边界问题考虑清楚（第二第三步）
• 动态就是做表格 想清楚方向
• 自底向上 子问题 学基础 再解决问题 通识教育
• 自顶向下 一般解决问题思路
  

转载链接：https://leetcode-cn.com/problems/new-21-game/solution/xin-21dian-by-leetcode-solution/
参考链接：https://leetcode-cn.com/problems/new-21-game/solution/que-ren-zui-hou-yi-lun-qu-pai-zhuang-kuang-ji-ji-l/