文章出处：极客时间《数据结构和算法之美》-作者：王争。该系列文章是本人的学习笔记。

思考题目

1 用最省内存的方式查找数据。
2 快速定位ip所在省市

二分查找的速度

二分每次都通过跟区间中的中间元素对比，将待查找的区间缩小为一半，直到区间为0或者找到元素。需要重点关注退出条件、mid取值、low和high的更新。

二分的时间复杂度O(logn)。logn少的惊人之处和指数的大的惊人之处类似。2的32次方是4亿多。在4亿多有序数组中查找数据，只需要32次。很少吧。

简单代码实现

简单是因为数组中没有重复数据。

	 public static int easySearch(int[] a,int value){if(a==null) return -1;int n = a.length;int low = 0;int high = n-1;return easySearch(a, value, low, high);}private static int easySearch(int[] a,int value,int low,int high){if(low>high) return -1;int mid = low + ((high-low)>>1);if(value==a[mid]) return mid;if(value<a[mid]) return easySearch(a,value,low,mid-1);return easySearch(a,value,mid+1,high);}

二分的应用场景

1 二分依赖的是顺序表，也就是数组。链表复杂度变高。因为链表随机查找的时间复杂度是O(n)。
如果使用链表，第一次查找a[mid]，需要$\frac{n}{2}$次查找，第二次查找a[mid]，需要$\frac{n}{4}$次查找，依次类推所需要的查找有$sum=\frac{n}{2}+\frac{n}{4}+\frac{n}{8}+....+1=n-1$。时间复杂度O(n)。

2 二分针对的是有序数据。在插入、删除比较少的场景中，可以将排序的时间成本均摊到查询上面。插入、删除多，则复杂度升高。

3 数据量小不能体现二分的优势。例如10个数据。无论顺序查找还是二分，时间差不多。

4 数据量不能太大。因为二分依赖数组存储数据，数组要求连续的内存。

思考题

在100M内存中，查找1000万整数的某个数。如果用long表示整数，一个整数8个字节，1000万整数，80M内存。可以先使用空间复杂度低的排序算法排序，之后二分查找。

求一个数的平方根，精确到小数点后6位。

二分的变体

查找第一个等于value的元素的位置

	 public static int findFirstEqualElement(int[] a ,int value){if(a==null) return -1;int n = a.length;int low = 0;int high = n-1;while(low<=high){int mid = low + ((high-low)>>1);if(value<a[mid]){high = mid - 1;}else if(value>a[mid]){low = mid +1;}else{if(mid==0 || a[mid-1]!=value)return mid;elsehigh = mid-1;}}return -1;}

最后一个等于value的元素的位置

	public static int findLastEqualElement(int[] a ,int value){if(a==null) return -1;int n = a.length;int low = 0;int high = n-1;while(low<=high){int mid = low + ((high-low)>>1);if(value<a[mid]){high = mid - 1;}else if(value>a[mid]){low = mid +1;}else{if(mid==n-1 || a[mid+1]!=value)return mid;elsehigh = mid-1;}}return -1;}

查找第一个大于等于value的元素的位置

	public static int findFirstMoreOrEqualElement(int[] a ,int value){if(a==null) return -1;int n = a.length;int low = 0;int high = n-1;while(low<=high){int mid = low + ((high-low)>>1);if(value<=a[mid]){if(mid==0 || a[mid-1]<value) return mid;high = mid - 1;}else if(value>a[mid]){low = mid +1;}}return -1;}

查找最后一个小于等于value的元素的位置

public static int findLastLessOrEqualElement(int[] a ,int value){if(a==null) return -1;int n = a.length;int low = 0;int high = n-1;while(low<=high){int mid = low + ((high-low)>>1);if(value<a[mid]){high = mid - 1;}else if(value>=a[mid]){if(mid==n-1 || a[mid+1]>value)return mid;low = mid +1;}}return -1;}

思考题

快速定位ip所在省市。可以用一个32位的int表示一个ip地址。查找每一个ip段内，最后一个起始ip小于等于目标ip的ip段，然后查找目标ip是不是在这个范围内。

循环有序数据的二分查找怎么解决,数组是升序。
　需要先找到第一个$a[i]<a[i+1]$，例如数组nums={4,5,6,7,0,1,2}。i应该等于4。然后我们可以选择将数组复制一下成为{0,1,2,4,5,6,7}，但是这样时间复杂度就会是O(n)。我们也可以这样看nums[4]=0,nums[5]=1,nums[6]=2,nums[7]=4,nums[8]=5,nums[9]=6,nums[10]=6。相当于将nums看做是一个循环数组。

 public int search(int[] nums, int target) {int n = nums.length;int low = 0;int high = n-1;while(low<high){int mid = (low+high)/2;if(nums[mid]>nums[high]){low = mid +1;}else{high = mid;}}int rotatedIndex = low;low = 0;high = n-1;while(low<=high){int mid = (low+high)/2;int realMid = (mid+rotatedIndex)%n;if(nums[realMid]<target){low = mid+1;}else if(nums[realMid]>target){high = mid-1;}else{return realMid;}}return -1;}