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递归代码复杂度分析起来比较麻烦。一般来说有两种分析方法：递推公式和递归树。

1 递推公式法

归并排序的递推公式是：

merge_sort(p…r) = merge(merge_sort(p…q), merge_sort(q+1…r))
终止条件：
p >= r 不用再继续分解

我们假设对n个元素排序的时间是T(n)，那分解成两个子数组排序的时间是$T(\frac{n}{2})$。merge函数合并两个子数组的时间复杂度是O(n)。所以归并排序时间复杂度计算公式就是：
　$T(n)=2\ast T(\frac{n}{2})+n,n>2$
　T(1)=c;
　
　继续计算T(n)

T(n)=2*T(n/2)+n=2*(2*T(n/4)+n/2)+n=4*T(n/4)+2n=4*(2*T(n/8)+n/4)+2n=8*T(n/8)+3n=8*(2*T(n/16)+n/8)+3n=16*T(n/16)+4n...=2^k*T(n/2^k)+k*n

当$n/2^k=1$的时候，$k=lo{g}_{2}n$,代入上面的式子：$T(n)=c\ast n+nlo{g}_{2}n$,用大O表示法，T(n)=O(nlogn)。

2 递归树法

递归的思想就是将大问题分解为小问题来求解。然后再将小问题分解成小小问题。这样一层层分解直到问题不能再分解。如果我们把这一层层的分解过程画成图，其实就是一棵树。我们把它叫做递归树。
参看下图，括号中的数字表示问题的规模。

归并排序比较耗时的操作是合并，也就是将两个小数组合并成一个大数组。其他操作的代价很低，可以记为常数L。
从图中看出每一层的耗时是相同的，都为n。现在我们只要知道这棵树的高度h，就可以得到总的时间复杂度O(h*n)。
从图中能看到这是一颗满二叉树。满二叉树的高度大约是$lo{g}_{2}n$。所以归并排序的时间复杂度就是O(nlogn)。

3 递归树分析法实战

3.1 快排时间复杂度

快排的递推公式：quick_sort(p…q) = quick_sort(p,i-1)+ quick_sort(i+1,q)
退出条件：p>=q
快排最好的情况是每次都能将数组一分为二。这时候用递推公式T(n)=2T(n/2)+n，就能得到时间复杂度O(nlogn)。
但是不可能每次都是理想情况。我们假设平均情况下每次分区，两个分区的比例是1:k。当k=9的时候，公式变为这样：
$T(n)=T(\frac{9n}{10})+T(\frac{n}{10})+n$
这个公式的值不太好求。用递归树是不是更简单呢？

我们看到每一层因为有选择交换操作，且最多n次。所以每一层的操作代价是相同的：n。
递归树的路径长度却是不一样的。快排结束的条件是待排序的区间大小为1，也就是说叶子节点的数据规模是1。从节点n到叶子节点1，递归树中的最长路径是每次乘以$\frac{1}{10}$，最短路径是每次乘以$\frac{9}{10}$。通过计算，我们可以得到，从根节点到叶子节点的最短路径是 $lo{g}_{10}n$,最长路径是$lo{g}_{(}\frac{10}{9})n$。所以总操作代价在$n\ast lo{g}_{10}n$和$n\ast lo{g}_{(}\frac{10}{9})n$之间。大O表示法不关注对数的底数，所以平均时间复杂度O(n*logn)。

将k=99，999…替换之后结论相同。

3.2 斐波那契数列

上面的两个例子每层的操作数相同，都是n。这次需要具体分析每层的操作数。
菲波那切数列的实现代码：

int f(int n) {if (n == 1) return 1;if (n == 2) return 2;return f(n-1) + f(n-2);
}

把递归代码画成递归树如下。

f(n)分解为f(n-1)和f(n-2)，每次-1，或者-2。叶子节点的数据规模是1或者2。那最长路径大概就是n，最短路径大概是$\frac{n}{2}$。

每次分解之后的合并操作只是一次加法，算一个时间1。第一层是f(n-1)+f(n-2)，1次运算；第二层是f(n-2)+f(n-3)，f(n-3)+f(n-4)是两次运算…依次类推，第k层的总耗时是$2^{k-1}$。算法总耗时是每层耗时相加。

如果路径长度都为n，那么总耗时是：$2^n-1$
$1+2+2^2+...+2^{n-1}=2^n-1$

如果路径长度都为$\frac{n}{2}$，那么总耗时是$2^{\frac{n}{2}}-1$
$1+2+2^2+...+2^{\frac{n}{2}-1}=2^{\frac{n}{2}}-1$

所以算法的时间复杂度在$2^{\frac{n}{2}}-1$和$2^n-1$之间。这样的计算不够精确，只是一个范围。但是我们知道了该算法的时间复杂度是指数级的。复杂度非常高。

心得：时间复杂度是可以估算的，不用非常准确。只要数量级保证正确即可。

3.3 全排列的时间复杂度

1 递归公式是

假设数组里的内容是1,2,3.....n
f(n)={最后一位是1,f(n-1)}+{最后一位是2,f(n-1)}+...+{最后一位是n,f(n-1)}

接着画出递归树。

2 对于问题f(n)，在得到子问题f(n-1)的结果之后需要把结果相加，有n次相加，所以第一层的操作数是n。
对于问题f(n-1)，首先会有n个f(n-1)的问题需要求解。每个f(n-1)，在得到子问题f(n-2)的结果之后需要把结果相加，有n-1次相加操作，所以第二层的操作数是n*(n-1)。
以此类推，到最后一层的子问题是f(1)，会有n*(n-1)(n-2)…2个f(1)。f(1)可以直接返回，操作数是1。所以最后一层的操作数是：$n\ast (n-1)\ast (n-2)\ast ...\ast 2\ast 1=n!$。
3 因为叶子问题为f(1)，问题每次-1分解，所以有n层。
4 前面每一层的操作数都小于n!，所以时间复杂度在$n\ast n!$到$n!$之间。
5 算法时间复杂度大于O(n!)，小于O(nn!)。复杂度非常高。

4 递归树法分析得步骤

1 找到递归公式画递归树
2 计算每一层在得到子问题的解以后，还要进行哪些操作才能得到本问题的答案，计算这些操作的操作数。
3 考虑树的最长路径和最短路径。
4 分别按照最长路径和最短路径计算所有层的操作数的和。
5 得出时间复杂度范围，推测时间复杂度。