如何借助哈希算法实现高效字符串匹配

1 概念和用途

字符串匹配：查找一个字符串A在字符串B中是否出现，这个过程就是字符串匹配。A称为模式串，B称为主串。主串的长度记为n，模式串长度记为m。 $n > m$ 。
在java中有String的indexOf用就是字符串匹配。
字符串匹配有基础的BF算法、高效的KMP算法。

2 BF算法

BF=Brute Force 暴力搜索
　　算法思想：在主串中，分别从起始位置0，1，2…n-m且长度为m的n-m+1个子串是否和模式串相同。

　　从算法过程分析，最坏时间复杂度是O(nm)。例如主串是“aaaa…aaa”(省略符号表示有若干个a)。模式串是"aaaab"。因为有n-m+1个子串，每次比较m次。比较总次数是 $n-m+1)*m=n*m-m^2+m$ ，记为O(nm)。
　　BF尽管时间复杂度比较高，但在实际应用中经常使用。原因有二。
　　第一，在实际应用中字符串都比较短，每次两个字符串比较的时候遇到不相同的字符，就可以提前返回。所以实际比n*m要少。
　　第二，算法思想简单，实现简单，不容易出错。这也符合KISS(Keep it simple and stupid)原则。在工程中，满足性能的前提下，简单是原则。

3 RK算法

RK=Rabin-Karp，是该算法的两位提出者。
　　在BF算法中，两次字符串比较，因为要比较m次，复杂度较高。如果为每个字符串计算一个哈希值，每次比较哈希值，复杂度就可能会降低。
　　算法思想：对模式串求哈希值。对n-m+1个主串中的子串分别求哈希值，然后逐个和模式串的哈希值比较。因为哈希值是一个数字比较非常快。但是因为求哈希所以整体算法效率没有提高。
　　改进：可以通过改进求子串哈希值，降低时间复杂度。假如字符串中只包含a-z这26个字母，每个字母分别对应数字0~25。哈希值采用26进制表示。
　　例如： $" d b c " = d * 26 * 26 + b * 26 + c = 3 * 26 * 26 + 1 * 26 + 2 = 2056$
　　这种哈希方法相邻子串哈希值是有特点的。可以使用前一个子串的哈希值计算下一个子串的哈希值。
　　
　　记h1=hash(dbc)=32626+126+2,h2=hash(bce)=12626+226+4.
　　A=126+2
　　B=12626+226
　　那么B=26*A
　　令h[i-1]表示(i-1,i+m-2)子串的哈希值，h[i]表示(i,i+m-1)子串的哈希值。那么
　　 $h[i]=(h[i−1]−26m−1(s[i]−′a′))∗26+(s[i+m−1]−′a′)h[i]=(h[i-1]-26^{m-1}(s[i]-'a'))*26+(s[i+m-1]-'a')$
　　这里还可以提高的地方时，可以提前把 $26^0$ , $26^1$ ,… $26^{m-1}$ 存入数组中。次方就是数组下标，便于查询。

时间复杂度分析
　　计算哈希值主要扫描一遍主串即可，时间复杂度O(n)。计算子串与模式串哈希值比较是否相同，时间复杂度O(1)，共需要n-m+1次比较，时间复杂度O(n)。总体时间复杂度时间复杂度O(n)。

字符串很长，哈希值超出能表示的范围怎么办？
　　上面的设计完全没有哈希冲突，当允许有哈希冲突，会不会解决呢？上面的算法是进位相乘，如果改为加法，数值就小很多了。例如 $" d b c " = 3 + 1 + 2 = 6$ 。这样的话取值范围小多了，但哈希冲突概率会很高。如果每个字母不对应整数，而是对应从小到大不同的素数，这样哈希冲突的概率就会降低了。