用导函数的图像判断原函数的单调性

前言

典例剖析

例1(给定\(f'(x)\)的图像,确定\(f(x)\)的单调性,最简单层次)

题目暂略。

例2(用图像确定\(f'(x)\)的正负,确定\(f(x)\)的单调性,2017聊城模拟)

已知函数\(y=xf'(x)\)的图像如图所示(其中\(f'(x)\)是函数\(f(x)\)的导函数),则下面四个图像中,\(y=f(x)\)的图像大致是【】

分析:由图可知,

992978-20171116191512281-1414292231.png

\(x<-1\)时,\(y<0\),故由符号法则可知\(f'(x)>0\)

\(-1<x<0\)时,\(y>0\),故由符号法则可知\(f'(x)<0\)

\(0<x<1\)时,\(y<0\),故由符号法则可知\(f'(x)<0\)

\(x>1\)时,\(y>0\),故由符号法则可知\(f'(x)>0\)

从而可知当\(x<-1\)时,\(f'(x)>0\)\(f(x)\nearrow\)

\(-1<x<1\)时,\(f'(x)<0\)\(f(x)\searrow\)

\(x>1\)时,\(f'(x)>0\)\(f(x)\nearrow\);故选C。

例3(用图像确定\(f'(x)\)的正负,确定\(f(x)\)的单调性,2017滨州模拟)

设R上的可导函数\(f(x)\)的导函数为\(f'(x)\),且函数\(y=(1-x)f'(x)\)的图像如图所示,则下列结论一定成立的是【】

992978-20171116192631702-1898161872.png

A、函数\(f(x)\)有极大值\(f(2)\)和极小值\(f(1)\) \(\hspace{2cm}\) B、函数\(f(x)\)有极大值\(f(-2)\)和极小值\(f(1)\)

C、函数\(f(x)\)有极大值\(f(2)\)和极小值\(f(-2)\) \(\hspace{2cm}\) D、 函数\(f(x)\)有极大值\(f(-2)\)和极小值\(f(2)\)

分析:当\(x<-2\)时,则有\(1-x>0\),又\(y>0\),故由符号法则可知\(f'(x)>0\)

\(-2<x<1\)时,则有\(1-x>0\),又\(y<0\),故由符号法则可知\(f'(x)<0\)

\(1<x<2\)时,则有\(1-x<0\),又\(y>0\),故由符号法则可知\(f'(x)<0\)

\(x>2\)时,则有\(1-x<0\),又\(y<0\),故由符号法则可知\(f'(x)>0\)

从而可知当\(x<-2\)时,\(f'(x)>0\)\(f(x)\nearrow\)

\(-2<x<2\)时,\(f'(x)<0\)\(f(x)\searrow\)

\(x>2\)时,\(f'(x)>0\)\(f(x)\nearrow\);故选D。

例4(用不等式确定\(f'(x)\)的正负,确定\(f(x)\)的单调性)(2017•合肥模拟)

定义在\(R\)上的可导函数\(f(x)\)的导函数为\(f′(x)\),已知函数\(y=2^{f′(x)}\)的图像如图所示,则函数\(y=f(x)\)的单调递减区间为【 】

A、\((1,+\infty)\) \(\hspace{2cm}\) B、\((1,2)\) \(\hspace{2cm}\) C、\((-\infty,2)\) \(\hspace{2cm}\) D、 \((2,+\infty)\)

992978-20171130160810745-2095751192.png

分析:结合图像可知,

\(x\in(-\infty,2]\)时,\(2^{f′(x)}≥1\), 即\(f′(x)≥0\)

\(x\in (2,+\infty)\)时, \(2^{f′(x)}<1\), 即\(f′(x)<0\)

故函数\(y=f(x)\)的递减区间为\((2,+\infty)\)。故选D。

例5(用不等式确定\(f'(x)\)的正负,确定\(f(x)\)的单调性)(2017•合肥模拟)

1、给定函数\(y=(x^2-3x+2)\cdot f'(x)\)的图像,先推断\(f'(x)\)的正负,再确定\(f(x)\)的单调性;

2、已知\((x^2-3x+2)\cdot f'(x)>0\),判断\(f(x)\)的单调性;

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