数组与特殊压缩矩阵

一、数组的基本特性

定义：
```
int arr[3][3]; // 3x3二维数组
```
存储方式：
- 行优先存储（C语言默认）：元素按行连续存储。
- 列优先存储：需手动实现（如科学计算中的Fortran风格）。
访问元素：

arr[i][j] = value; // 直接访问

二、特殊矩阵的压缩存储

针对特定规律的矩阵（如对称、稀疏），可通过压缩存储减少空间占用。

(1) 对称矩阵

特点：a[i][j] = a[j][i]，只需存储上三角或下三角。
压缩存储：
- 将下三角元素存入一维数组，元素总数：n(n+1)/2。
- 下标转换公式（行优先）：
  - 当 i ≥ j 时，一维数组索引 k = i*(i+1)/2 + j。
  - 当 i < j 时，交换 i 和 j。

示例代码：

// 压缩对称矩阵
int compressSymmetric(int matrix[][N], int n, int compressed[]) {int k = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j <= i; j++) { // 存储下三角compressed[k++] = matrix[i][j];}}return k; // 返回压缩后长度
}// 访问压缩后的元素
int getElement(int compressed[], int i, int j) {if (i < j) { // 上三角转下三角int temp = i;i = j;j = temp;}return compressed[i*(i+1)/2 + j];
}

(2) 三角矩阵

上三角矩阵：只存储主对角线及以上元素。
下三角矩阵：只存储主对角线及以下元素。
压缩存储：类似对称矩阵，但需额外存储剩余部分的常量（如0）。

示例代码（下三角矩阵）：

// 压缩下三角矩阵（包含对角线）
void compressLowerTriangular(int matrix[][N], int n, int compressed[]) {int k = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j <= i; j++) {compressed[k++] = matrix[i][j];}}
}

(3) 稀疏矩阵

特点：绝大多数元素为0，通过压缩存储非零元素。
存储方式：
1. 三元组表示法：存储非零元素的行、列、值。
2. 十字链表：适合频繁插入/删除操作（如图像处理）。

三元组表示法示例：

typedef struct {int row, col, value;
} Triple;// 压缩稀疏矩阵
void compressSparse(int matrix[][M], int rows, int cols, Triple compressed[]) {int k = 0;for (int i = 0; i < rows; i++) {for (int j = 0; j < cols; j++) {if (matrix[i][j] != 0) {compressed[k].row = i;compressed[k].col = j;compressed[k].value = matrix[i][j];k++;}}}
}// 访问稀疏矩阵元素
int getSparseElement(Triple compressed[], int size, int i, int j) {for (int k = 0; k < size; k++) {if (compressed[k].row == i && compressed[k].col == j) {return compressed[k].value;}}return 0; // 未找到则返回0
}