629. K个逆序对数组

给出两个整数 n 和 k，找出所有包含从 1 到 n 的数字，且恰好拥有 k 个逆序对的不同的数组的个数。

逆序对的定义如下：对于数组的第i个和第 j个元素，如果满i < j且 a[i] > a[j]，则其为一个逆序对；否则不是。

由于答案可能很大，只需要返回答案 mod 109 + 7 的值。

示例 1:输入: n = 3, k = 0
输出: 1
解释: 
只有数组 [1,2,3] 包含了从1到3的整数并且正好拥有 0 个逆序对。示例 2:输入: n = 3, k = 1
输出: 2
解释: 
数组 [1,3,2] 和 [2,1,3] 都有 1 个逆序对。

说明:

n 的范围是 [1, 1000] 并且 k 的范围是 [0, 1000]。

解题思路

状态转移公式的推导

例如当n=3 ，k=2时，xxx代表n=3时的逆序对数组的任意情况，我们需要计算n=4并且k=2的情况，可以看成是向n=3时的所有逆序对数组插入值4，下面是插入的几种情况

4xxx，因为4是当前的最大值，必然大于后面3个元素，所以能产生3对逆序对，超出了k=2
x4xx，因为4是当前的最大值，必然大于后面2个元素，所以必然能产生2对逆序对，又因为我们需要逆序对的数量k=2，所以只能从n=2，k=0的情况转移而来
xx4x，因为4是当前的最大值，必然大于后面1个元素，所以必然能产生1对逆序对，又因为我们需要逆序对的数量k=2，所以只能从n=2，k=1的情况转移而来
xxx4，因为4在最末尾，所以不能产生新的逆序对，又因为我们需要逆序对的数量k=2，所以只能从n=2，k=2的情况转移而来

因此我们可以得出
dp[n+1][k]=dp[n][k-1]+dp[n][k-2]…dp[n][k-n+1]

使k=k+1得
dp[n+1][k+1]=dp[n][k]+dp[n][k-1]…dp[n][k-n+2]

两式相减得：dp[n][k]=dp[n-1][k]+dp[n][k-1]-dp[n-1][k-n]

代码

class Solution {
public:int kInversePairs(int n, int k) {vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(k+1,0));dp[1][0]=1;int mod=1000000007;for (int i = 2; i <=n; ++i) {for (int j = 0; j <=k; ++j) {dp[i][j]=dp[i-1][j]+(j-1>=0?dp[i][j-1]:0)-(j-i>=0?dp[i-1][j-i]:0);if (dp[i][j]>=mod)dp[i][j]-=mod;else if (dp[i][j]<0)dp[i][j]+=mod;}}return dp[n][k];}
};