0 前言

0.1 讨论层级和范围

• 讨论层级
  • 计算机底层：硬件层次与汇编指令层次
  • 信息与二进制位
• 讨论范围
  • 信息的存储与运算在汇编语言与Verilog HDL中的联系与区别
  • 事实上，数据越界截断问题，在计算机体系的任何层次，都可能发生，并且他们遵循的法则基本是一致的

0.2 其他说明

• 信息与数据，本质上来讲没有区别，信息就是数据，数据就是信息。为方便起见，在本文中，全部都称数据。
• 数据越界问题的分析，在实际应用中有以下用途
  • 在一开始设计的时候避免越界问题的发生
  • 在发生错误的时候有能力分析出其原因

1 一个概念

越界丢失法则：超过存储能力的数据，会被截断，从而导致丢失，也可以称为越界截断。

这就好比，一个水桶一旦装满水，再灌水会溢出来，溢出的水就是丢失了

1.1 越界截断

我们知道，数据在计算机中是以二进制信息存储的，即一串一串的二进制数

0	1	0	1	1	1	0	1
0	1	1	1	1	0	0	0
…

对于上图所示的，是两个8位的二进制位串。

下面将通过演示说明，什么是越界截断，对于8个二进制位来说，所能表示的最大数据就是8位全部是1：

1	1	1	1	1	1	1	1

如果再给这个数值加1，那么就会数值就变成：

1	0	0	0	0	0	0	0	0

这是9位二进制数，但实际上计算机只能存储8位，因此超过其所能承受的范围，最高位的1将会被截断，从而造成数据丢失：

被截断	0	0	0	0	0	0	0	0

也就变成了：

0	0	0	0	0	0	0	0

这就是数据的越界截断。

有些读者可能会误以为越界丢失就是归零，因此我再举一个例子，以消除误解。

对于8个二进制位来说，如果给他施加了达到10个二进制位的数字：

1	1	0	0	1	0	1	0	1	0

那么它的最高两位将会丢失

	被截断	0	0	1	0	1	0	1	0

也就变成了：

0	0	1	0	1	0	1	0

1.2 越界截断建模——水溢出模型

数据的越界丢失，就好比水桶满了，多出的水会溢出，但是水桶的水并不会消失，只是多出来的水丢失了。

1.3 补充概念——溢出

当数据发生越界，超出了容器容纳范围时，我们称发生了溢出

2 两个方向

对于越界截断现象，有两个考虑的方向。

2.1 数据的存储——水桶储水模型

信息的存储是指，将信息直接存储起来
就好比将水放进水桶中

2.2 数据的运算——水处理模型

信息的运算是指，对传输过来的数据，进行运算（加、减、乘、除……），也就是数据的处理过程
就好比污水经过处理厂变成了净水

亦或者是一桶水倒入另外一桶水中，这样的模型都是合理的，能够帮助你理解这一过程

3 三个过程

对于越界截断现象，一般会发生在三个过程中。

3.1 初始量：设初值

包含数据类型、标识符的设定，以及赋初值的过程

3.1.1 Verilog

在Verilog语言中，初始化的方式如下

reg a = 1'b1;
reg b = 123;
reg c;
c = 1'b0;

• 对于a和c来说，一个二进制位存储一个二进制数，这是标准的
• 对于b来说，显然数据越界了，Verilog会执行越界丢失操作，留下没越界的数字
  • 123用二进制表示是：0111_1011
  • 因此留下最后一位1，其余高位全部丢失

3.1.2 汇编语言

以8086CPU中16位寄存器AX为例，说明数据的初始化问题

mov AX,11H		 // ①
mov AX,1000001H  // ②

• 对于①，将它显然正确
• 对于②，明显越界，这是错误的指令，注意，是错误，可能不会被容错直接报错

3.1.3 C/C++等高级语言

int a = 1000100010000;
int b = 100;

• 很明显，a越界了，b是正确的
  
  越界是错误的！

---

问题：为什么会显示右侧这一串数字？C++是怎么运行出来的？
在回答这个问题之前，先来学习一下延展知识。

3.1.3.1 延展阅读1：VS C++ 的内存查看方法

【VS C++ 2010】查看内存的方法详解

学习完之后，再继续往下进行

以下面的代码为示例：

int main()
{int a = 100;int b = 100010001000;cout << "a = " << a << "  " << &a << endl;cout << "b = " << b << "  " << &b << endl;system("pause");return 0;
}

以下，我们都需要使用刚刚学到的知识，查看内存的情况

（1）对于正数

①不越界的正数

对于int a = 100;，显然是不越界的，其内存情况为

这一点没什么好说的

• a的类型为int
• 数值为100（十进制），被解释为数字100
• 存储为二进制位串
• 显示为0x64（十六进制的64）

②越界的正数

对于十进制数据 1000_1000_1000，其十六进制为：17 49 0F 82 68

17	49	0F	82	68

由越界截断可得，被保留下来的为：49 0F 82 68

被截断	49	0F	82	68

我们查看内存来验证一下

内存上的存储的确是这样，将其换算为十进制，就是我们的输出结果了

（2）对于负数的越界

3.1.3.2 延展阅读2：补码的使用

补码转换人工求法【非常没必要，计算机要做的事情为什么要人来做？不过做考试题还是有必要的……】：

1. 求负数绝对值的原码后减一【这个减一就很蠢，补码的使用就是为了避免减法，你居然用减法来避免减法……，但是做考试题确实比用反码的方法更快】
2. 对上述结果全部取反

对于负数，计算机以补码形式来存储的本质

对于负数：

1. 计算机先将其转换为补码形式
2. 再进行存储，如果越界，则会发送越界截断

①不越界的负数

直接以补码形式存储

②越界的负数

先存储为补码，然后越界截断，然后再存储起来

---

3.1.4 小结

我通过三种语言的描述，来为你传到这样的信号：

• 不同语言对于越界问题的处理方式是不同的，这是显而易见的，他们所处的计算机系统层次不一样，抽象程度也不一样
• 毫无疑问，在赋初值的时候就造成越界，这是设计的失败，这是不可容忍的错误

总之，不要越界（后面的小节会讲解它也是双刃剑，可以**“变废为宝”**）

3.1.4.1 延展阅读3：在边界内做事情

待完善部分，敬请期待

3.1.4.2 优化模型——水桶的水不能溢出

对于水桶储水模型，请回看2.1节的内容，这里通过几张图来展示几种可能的情况

3.1.4.3 一句话总结：做事不能越界

3.2 过程量：做运算

对于运算之后造成的越界问题，参考3.1.3节中的问题部分的解答即可

3.2.1 数学运算（加减乘除……）

不管是高级语言，还是汇编语言，在进行数学运算的时候都可能产生越界的问题——两个数字都没有越界，但是相加之后越界了

设计者一定要考虑并且避免这些问题的发生，否则可能会引发错误。

3.2.2 数据类型的强制转换

3.2.2.1 手动强制转换

数据的强制转换也可能引发错误，比如：在java中，将int类型的数字转换为byte类型，由高向低转换，就可能引起数据的丢失。

例如下列Java代码

int a = 300;
byte b = (byte)a;
System.out.println(b);

输出为：

原因分析：
对于原数字，被保存为0x12C（十六进制前缀为“0x”），强制转换为byte类型，则会发生越界截断，将最高位的1截断，变成了0x2C，也就是十进制的44

3.2.2.2 自动强制转换

另外，在C/C++、Java中，有一类二元运算符，比如

• +=
• -=
• *=
• /=
  例如x += y，它的本质是x = x + y，由于y的数据类型并不确定，因此可能会产生错误，比如：

int x = 3;
x = x + 3.5;

这是不被允许的，x + 3.5是float类型，不能直接赋值给int类型，这时候需要进行强制转换x = (int)(x + 3.5)，得到的结果是6

对于上述二元运算符来说，这个强制转换是自动进行的

int x = 20;
x += 3.5;

对于第二条语句，并不等价于x = x + 3.5而是等价于x = (int)(x + 3.5)

3.3 结束量：得结果

3.3.1 直接输出

对于得到的结果，直接输出，那么就是越界丢失之后的结果，没什么好说的。

如果直接在输出函数的参数内进行运算，那么越界与否取决于实际的环境，看情况而定，数据的结果一定要在范围内！。

3.3.2 结果被保存到其他变量中

如果运算得到的结果被保存到了其他变量中，如果将大的数据，保存到小容器中，显然会越界

4 双刃剑——越界截断的利弊分析

4.1 避开弊端

从专业词语来说，越界丢失更适合称为越界截断，越界的部分将会被计算机截断，从而造成了丢失。

毫无疑问，数据的丢失是可怕的，因此，大多数情况下，尤其是程序员，要尽可能的避免发生越界截断。

4.2 坏事变好：应用越界截断——补码的使用

从哲学的角度来说，任何事情都有两面性，如果我们利用好越界截断，也能让它发挥巨大的作用。

计算机有加法器，但是它不擅长减法，于是

• 补码+越界截断

就完成了减法转换为加法这一壮举！

例如：45 + （-22） = 23
在计算机中，以补码形式存储，用补码进行加减
45的补码：

0	0	1	0	1	1	0	1

-22的补码：

1	1	1	0	1	0	1	0

补码相加：

1	0	0	0	1	0	1	1	1

发生越界截断：

被截断	0	0	0	1	0	1	1	1

得到：

0	0	0	1	0	1	1	1

也就是23的补码

**但是，务必注意：**使用补码进行运算，运算结果也一定要在范围内，否则依然是错误。

5 注意事项：先确定正确的界限，才能分析越界截断

比如下面这个例子，如果你把它的界限弄错，那么你可能会得到错误的结果。

char a = 100;
char b = 28;
char c = a+b;
cout << dec << (int)c << endl;unsigned char d = a+b;
cout << dec << (int)d << endl;

会输出

显然，a+b并不会越界

1	0	0	0	0	0	0	0

但是，同样是char类型，一个是有符号数，一个是无符号数，输出的结果却不一样。

这是因为

• 对于有符号数来说，它的界限的7位，因为要除去符号位
• 对于无符号数来说，它的界限是8位，不需要除去符号位

说到这里，你也就明白，数据的界限是讨论越界截断的前提。

因此设计者要综合考虑很多问题，这也是计算机科学家的基本素养。

6 综合阐述

• 任何计算机程序都是由各种数据构成的
• 各种数据又拥有不同的数据类型

因此：数据只要在对应数据类型的范围内，就不会发生错误。

最终结果就是，保证数据在数据类型的范围内运行即可，对于补码运算而言，中间过程发生越界是没有问题的，但是结果不能越界，上面一大堆分析完全可以不用看（不要打我……分析有助于你未来思考更深入的问题，光记住结论是走不远的）。

7 延展阅读汇总

待补充