卡特兰数的引入与n边形分成三角形的个数有关：

我们令f[n]表示n边形可以分成的三角形的个数，特殊的，令f[2]=1

1. 我们考虑以顶点1顶点的一个三角形，假设用的是n边形的k-k+1边，那么这种情况的方案数就是$f[k]\ast f[n-k+1]$，这个边可以变化，从1-2到n-1-n，所以$f[n]=f[2]\ast f[n-1]+f[3]\ast f[n-2]+...+f[n-1]\ast f[2]$
2. 我们考虑从某个顶点发出的对角线，将这个n边形分成两部分，考虑这种情况下共有$f[3]\ast f[n-1]+f[4]\ast f[n-1]+...+f[n-1]\ast f[3]$种情况，共有n个顶点，所以还要乘上n,可是这样显然重复的很多的情况。考虑每种情况，共有n-3条对角线，每个对角线的两个顶点都会计算一次这样的情况，所以最后还要除以2*(n-3)

这样我们就得到了两个递推式:
$1.f[n]=f[2]\ast f[n-1]+f[3]\ast f[n-2]+...+f[n-1]\ast f[2]$
$2.f[n]=n\ast （f[3]\ast f[n-1]+f[4]\ast f[n-2]+...+f[n-1]\ast f[3]）/(2\ast n-6)$
我们将一式往前递推一项，再结合二式，就可以得到递推式：
$f[n+1]=f[2]\ast f[n]+f[3]\ast f[n-1]+...+f[n]\ast f[2]=2\ast f[2]\ast f[n]+(2\ast n-6)/n\ast f[n]=(4\ast n-6)\ast f[n]$
这样我们就能递推的求解卡特兰数。

将这个数字的应用推广，这类数字的根本是第一个递推式，我们不妨从0开始算起（忽略卡特兰数的几何意义，仅仅当作一个特殊的递推公式）

$f[n]=f[0]\ast f[n-1]+f[1]\ast f[n-2]+...+f[n-1]\ast f[0]，其中f[0]=1$

即所有满足这种关系的数字都是卡特兰数，在这种定义下我们同样可以求得递推式

1. $f[n]=(4\ast n-2)/(n+1)\ast f[n-1]$（结合上面的推法应该可以推出来但是我还没有尝试）
2. $f[n]=C(n,2n)/n+1=C(n,2n)-C(n-1,2n)$

应用：只要符合上面那种递推式的都是卡特兰数

• 已知一颗二叉树有n个结点，问：该二叉树能组成多少种不同的形态
  问题的关键是找到递推式，我们要想办法将问题转换成子问题，对于这个问题，我们就可以思考左子树和右子树（不同的问题有不同的结构，我们要分析问题的模式，找到将问题分解的方法。）我们用f[n]表示n个节点的数可以形成多少子树，不难想到f[n]满足上面的递推式，是卡特兰数
• 有n个A和n个B排成一排，从第1个位置开始到任何位置，B的个数不能超过A的个数，问这样的排列有多少种
  分析一下问题：关键是B的个数不能超过A的个数，所以一旦前2*k个位置中A和B相等，对后面就不会产生影响，相当与后面2 *n-2 *k个位置是独立的，可以重新进行思考。