勾股数我们都很熟悉，a²+b²=c²，可是如何快速找到所有的勾股数组呢？

本原勾股数组a²+b²=c²性质：

1. a,b奇偶不同，c一定是奇数
2. 若b为偶数，c-b和c+b一定是完全平方数
3. 设t>s>=1,且均为奇数，则$a=s\ast t,b=(t\ast t-s\ast s)/2,c=(t\ast t+s\ast s)/2$;其中a为奇数，b为偶数

有上面的性质以后我们就能迅速得到所有的勾股数组。

下面进行证明：

显然：gcd(a,b,c)=1，则由a²+b²=c²得到a,b,c两两互质。如果其中两个不互质则通过等式另一个肯定也含有相同的因子。

证明性质1：
假如a,b同为偶数，则c为偶数，则gcd(a,b,c)!=1，不可能。
假如a,b同为奇数，设a=2x+1,b=2y+1,则c²=4x²+4x+1+4y²+4y+1为偶数，则c必定为偶数，令c=2z，则2z²=2(x²+y²+x+y)+1，奇数不可能等于偶数，因此不成立。
故a,b奇偶不同，则c一定是奇数。QED
证明性质2：
另t=gcd(c-b,c+b),则$t|2c,t|2b,若t>1,则t/2|c,t/2|b,所以t/2=gcd(b,c)=1,t=2$所以t=1或者2.
又因为t|(c-b)(c+b)=a*a,a为奇数，所以不可能。因此t=1，c-b和c+b互质。

因为(c-b)(c+b)=aa，c-b,c+b均为完全平方数（由算术基本定理可知，他们的质因子的幂必须是偶数）QED
证明性质3：有以上，我们令s²=c-b,t²=c+b，则a=st,b=(t *t-s *s)/2，c=(t * t+s * s)/2。由a为奇数可得，s,t为奇数。QED