算法介绍

• 源点s,数组d[u]表示s到u的最短距离，空集S，点集Q
• 初始化：将源点s从点集中去掉，加入S，d[s]=0，$\forall v\in Q,d[v]=w[s][v]$
• 将Q中d[v]最小的点去掉加入S,并对$u\in Q,w[v][u]<\infty$进行松弛操作：如果$d[v]+w[v,u]<d[u],d[u]=d[v]+w[v,u]$
• 重复上述步骤直到Q为空集

正确性证明

Dijkstra算法条件：没有负边

设源点为s，d[v]表示源点到点v的举例，d[u,v]表示点u到点v的举例，w[u,v]表示从点u到点v的一条有向边的长度，$\delta (s,v)$表示源点到点v的最短路径长度。

最优子结构性质：任意两点之间的最短路径的子路径仍然是最短路径

证明：假设s到v的最短路径上有子路径u到w，那么$\delta (s,v)=d[s,u]+d[u,w]+d[w,v]$，$d[u,w]>\delta (u,w)$

那么将$d[u,w]$替换为$\delta (u,w)$可以得到更好的路径，那么原路径就不知最短路径，这和$\delta (s,v)$的定义矛盾。因此该问题具有最优子结构性质。

引理1：初始化以后进行松弛操作前后$\forall v\in V,d[v]⩾\delta (s,v)$

证明：由初始化条件，刚初始化以后$\forall v\in V,d[v]⩾\delta (s,v)$

假设当对点v进行松弛操作时第一次导致上式不再成立，即$d[v]=d[u]+w[u,v]<\delta (s,v)$

因为点u在点v之前，所以点u满足上述不等式，$d[u]⩾\delta (s,u)$

由定义容易得到$w[u,v]⩾\delta (u,v)$，因此$d[v]=d[u]+w[u,v]⩾\delta (s,u)+\delta (u,v)$

由三角不等式$d[v⩾\delta (s,u)+\delta (u,v)⩾\delta (s,v)$，与上面假设矛盾

因此初始化以后进行松弛操作前后$\forall v\in V,d[v]⩾\delta (s,v)$，引理1成立

引理2：假设存在s到v的最短路径:s->…->u->v，$d[u]=\delta (s,u)$，那么在点u对v进行松弛操作$d[v]=d[u]+w[u,v]$之后，$d[v]=\delta (s,v)$

证明：由最优子结构性质，s到v的路径中s到u为点u的最短路径，$\delta (s,v)=\delta (s,u)+w[u,v]$

$d[u]+w[u,v]=\delta (s,u)+w[u,v]=\delta (s,v)$，由引理1，在松弛操作以前$d[v]⩾\delta (s,v)$，因此松弛操作会保证$d[v]=\delta (s,v)$，等证。

当算法结束后，$d[v]=\delta (s,v)$

证明：因为算法中将点加入确定的集合后就不再进行修改，所以相当于证明加入确定集合时$d[v]=\delta (s,v)$

由引理1，假设加入确定集合时第一个出现$d[v]>\delta (s,v)$为节点v(开始使用反证法)

假设s到v的最短路径为s->…->x->y->…->v，x是该路径在确定集合中的最后一个元素，y是该路径不在确定集合中的第一个元素。

因为v是第一个出现的点，而x在v之前加入，所以$d[x]=\delta (s,x)$

由最优子结构，s->…->x->y是s到y的一条最短路径，此时x已经进行了松弛操作

由引理2，$d[y]=\delta (s,y)$

因为y是s到v路径上的一点，所以$\delta (s,v)⩾\delta (s,y)$

加入确定集合时$d[v]$是所有未加入点中最小的，所以$d[v]⩽d[y]=\delta (s,y)⩽\delta (s,v)$,与假设矛盾。证毕。

复杂度分析

初始化的复杂度为$\Theta (|V|)$

总共要循环|V|次寻找点集中d[]最小的元素，复杂度为$O(|V|T_{寻找最小元素})$

对于每个点都需要对所指向的点进行降低键值操作，由握手定理，总共需要降低出度的总和即|E|，复杂度为$O(|E|T_{降低键值})$

因此总共的复杂度为$O(|V|T_{寻找最小元素}+|E|T_{降低键值})$，通过使用不同的数据结构我们可以得到不同的复杂度。特殊的，如果我们使用数组，复杂度为$O(|V{|}^2)$，如果我们使用二叉堆，复杂度为$O((V+E)logV)$，如果我们使用斐波那契堆，可以得到最优秀的复杂度$O(E+VlogV)$

和BFS的关系

特殊地，如果边的权值全部为1（或者相等），那么BFS就是Dijkstra算法，复杂度为$O(V+E)$