斐波那契数列求解+尾递归

1.普通递归

这里观察f[4]的递归树代替f[10]的递归树（后者比较大，画不下）。

在这里插入图片描述

使用递归求解的时候复杂度为 $T (n) = T (n - 1) + T (n - 2)$ ，观察递归树，发现降速最快的是最右边每次减2，因此 $n2\frac{n}{2}$ 层以上的部分肯定是满二叉树，因此时间复杂度肯定是 $Ω(2n2)\Omega(2^{\frac{n}{2}})$ 的，再加上其他节点，因此我们可以大概认为时间复杂度为 $O(2^n)$ ，空间复杂度为树的深度为 $O (n)$

实现代码

ll Fibo(ll n)
{if(n<2) return n;return Fibo(n-1)+Fibo(n-2);
}

2.尾递归

通过改变函数的形式，能够让结果在最底层调用时直接返回。这样我们就可以在每一层函数尾调用自身来实现尾递归。因为编译器发现函数最后是尾调用（直接返回另一个函数）的时候将不会保存原函数的栈帧（因为已经执行结束），而是直接带着上一个栈帧的结果直接在原地进入下一栈帧。这样就没有递归调用时空间的额外消耗。

对于本问题，使用尾递归的话时间复杂度为 $O (n)$ ，空间复杂度为 $O (1)$

ll Fibo2(ll n,ll x,ll y)//y保存当前项，调用时x=0，y=1，表示当前项为1
{if(1 == n) return y;return Fibo2(n-1, y, x+y);
}

3. 记忆化搜索

为了避免对已经计算过的值再次计算，我们用一个数组保存已经计算过的值。这样的时间复杂度将变为 $O (n)$ ，空间复杂度也为 $O (n)$

ll Work3(ll n, ll* ans)
{if(n<2) return ans[n]=n;if(ans[n]) return ans[n];return ans[n]=Work3(n-1, ans)+Work3(n-2, ans);
}ll Fibo3(ll n)
{ll *ans = new ll[n+5]();ll ret = Work3(n, ans);delete[] ans;return ret;
}

4. 递推

斐波那契有递推公式： $F i b o [n] = F i b o [n - 1] + F i b o [n - 2]$ ，因此可以用递推解决。如果记忆所有项的话，空间复杂度为 $O (n)$ ，如果不记忆的话空间复杂度为 $O (1)$ 。时间复杂度为 $O (n)$

ll Fibo4(ll n)
{ll *ans = new ll[n+5];ans[1]=1;for(ll i=2;i<=n;++i) ans[i]=ans[i-1]+ans[i-2];ll ret=ans[n];delete[] ans;return ret;
}

性能测试

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <ctime>using namespace std;typedef long long ll;
typedef ll (*FP)(ll);ll Fibo1(ll n)
{if(n<2) return n;return Fibo1(n-1)+Fibo1(n-2);
}ll Work2(ll n,ll x=0,ll y=1)//y保存当前项，调用时x=0，y=1，表示当前项为1
{if(1 == n) return y;return Work2(n-1, y, x+y);
}ll Fibo2(ll n)
{return Work2(n);
}ll Work3(ll n, ll* ans)
{if(n<2) return ans[n]=n;if(ans[n]) return ans[n];return ans[n]=Work3(n-1, ans)+Work3(n-2, ans);
}ll Fibo3(ll n)
{ll *ans = new ll[n+5]();ll ret = Work3(n, ans);delete[] ans;return ret;
}ll Fibo4(ll n)
{ll *ans = new ll[n+5];ans[1]=1;for(ll i=2;i<=n;++i) ans[i]=ans[i-1]+ans[i-2];ll ret=ans[n];delete[] ans;return ret;
}void Test(ll n,FP fp[])
{clock_t S,E;for(int i=0;i<4;++i){int T=10;double sum=0;for(int j=0;j<T;++j){S=clock();fp[i](n);E=clock();sum+=(double)(E-S)/CLOCKS_PER_SEC;}cout<<"方法"<<i+1<<"平均用时"<<sum/T<<"s"<<endl;}
}int main()
{FP fp[4]={Fibo1,Fibo2,Fibo3,Fibo4};ll n;cout<<"请输入需要查询斐波那契数列第几项："; cin>>n;Test(n,fp);return 0;
}