【转】 差分约束系统详解（转化为最短路） （概念）

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转自：http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/08/26/2153928.html

 

差分约束系统中：

 

如果求未知数的最大值，那么按小于等于建图后求最短路即可。（因为求最短路是由无穷向下约束而得到的，所以得到的一定是最大值）。

 

如果求未知数的最小值，那么按小于等于建图后求最长路即可。

 

注意所有数据的关系，不能漏掉关系，还有与附加源点的关系。

 

如果是按大于等于建图：

 

求最大值，建图后求最长路；

 

求最小值，建图后求最短路。

 

因为大于等于建图后，相当于未知数都 * -1了，所以求出结果后需要 * -1。

①：对于差分不等式，a - b <= c ，建一条 b 到 a 的权值为 c 的边，求的是最短路，得到的是最大值 
②：对于不等式 a - b >= c ，建一条 b 到 a 的权值为 c 的边，求的是最长路，得到的是最小值 
③：存在负环的话是无解 
④：求不出最短路（dist[ ]没有得到更新）的话是任意解 

一直不知道差分约束是什么类型题目，最近在写最短路问题就顺带看了下，原来就是给出一些形如x-y<=b不等式的约束，问你是否满足有解的问题

好神奇的是这类问题竟然可以转换成图论里的最短路径问题，下面开始详细介绍下

比如给出三个不等式,b-a<=k1,c-b<=k2,c-a<=k3,求出c-a的最大值,我们可以把a,b,c转换成三个点，k1，k2，k3是边上的权，如图

由题我们可以得知，这个有向图中，由题b-a<=k1,c-b<=k2,得出c-a<=k1+k2,因此比较k1+k2和k3的大小，求出最小的就是c-a的最大值了

根据以上的解法，我们可能会猜到求解过程实际就是求从a到c的最短路径，没错的....简单的说就是从a到c沿着某条路径后把所有权值和k求出就是c -a<=k的一个

推广的不等式约束，既然这样，满足题目的肯定是最小的k，也就是从a到c最短距离...

理解了这里之后，想做题还是比较有困难的，因为题目需要变形一下，不能单纯的算..

首先以poj3159为例,这个比较简单，就是给出两个点的最大差，然后让你求1到n的最大差，直接建图后用bellman或者spfa就可以过了

稍微难点的就是poj1364，因为他给出的不等式不是x-y<=k形式，有时候是大于号，这样需要我们去变形一下，并且给出的还是>,<没有等于，都要变形

再有就是poj1201，他要求出的是最长距离，那就要把形式变换成x-y>=k的标准形式

注意点:

1. 如果要求最大值想办法把每个不等式变为标准x-y<=k的形式,然后建立一条从y到x权值为k的边,变得时候注意x-y<k =>x-y<=k-1

   如果要求最小值的话,变为x-y>=k的标准形式，然后建立一条从y到x的k边，求出最长路径即可

2.如果权值为正，用dj，spfa，bellman都可以，如果为负不能用dj，并且需要判断是否有负环，有的话就不存在

 

 

 

转自：http://www.cnblogs.com/pony1993/archive/2012/09/01/2666996.html

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在一个差分约束系统(system of difference constraints)中，线性规划矩阵A的每一行包含一个1和一个-1，A的其他所有元素都为0。因此，由Ax≤b给出的约束条件是m个差分约束集合，其中包含n个未知量，对应的线性规划矩阵A为m行n列。每个约束条件为如下形式的简单线性不等式：xj-xi≤bk。其中1≤i,j≤n，1≤k≤m。

例如，考虑这样一个问题，寻找一个5维向量x=(xi)以满足：

 

 

这一问题等价于找出未知量xi，i=1,2,…,5，满足下列8个差分约束条件：

x1-x2≤0

x1-x5≤-1

x2-x5≤1

x3-x1≤5

x4-x1≤4

x4-x3≤-1

x5-x3≤-3

x5-x4≤-3

    该问题的一个解为x=(-5,-3,0,-1,-4)，另一个解y=(0,2,5,4,1)，这2个解是有联系的：y中的每个元素比x中相应的元素大5。

 
引理：设x=(x1,x2,…,xn)是差分约束系统Ax≤b的一个解，d为任意常数。则x+d=(x1+d,x2+d,…,xn+d)也是该系统Ax≤b的一个解。

 

约束图

   在一个差分约束系统Ax≤b中，m X n的线性规划矩阵A可被看做是n顶点，m条边的图的关联矩阵。对于i=1,2,…,n，图中的每一个顶点vi对应着n个未知量的一个xi。图中的每个有向边对应着关于两个未知量的m个不等式中的一个。

   给定一个差分约束系统Ax≤b，相应的约束图是一个带权有向图G=(V,E)，其中V={v0,v1,…,vn}，而且E={ (vi,vj) : xj-xi≤bk是一个约束}∪{ (v0,v1) , (v0,v2) , … , (v0,vn) }。引入附加顶点v0是为了保证其他每个顶点均从v0可达。因此，顶点集合V由对应于每个未知量xi的顶点vi和附加的顶点v0组成。边的集合E由对应于每个差分约束条件的边与对应于每个未知量xi的边(v0,vi)构成。如果xj-xi≤bk是一个差分约束，则边(vi,vj)的权w(vi,vj)=bk（注意i和j不能颠倒），从v0出发的每条边的权值均为0。

  
定理：给定一差分约束系统Ax≤b，设G=(V,E)为其相应的约束图。如果G不包含负权回路，那么x=( d(v0,v1) , d(v0,v2) , … , d(v0,vn) )是此系统的一可行解，其中d(v0,vi)是约束图中v0到vi的最短路径(i=1,2,…,n)。如果G包含负权回路，那么此系统不存在可行解。

 

差分约束问题的求解

   由上述定理可知，可以采用Bellman-Ford算法对差分约束问题求解。因为在约束图中，从源点v0到其他所有顶点间均存在边，因此约束图中任何负权回路均从v0可达。如果Bellman-Ford算法返回TRUE，则最短路径权给出了此系统的一个可行解；如果返回FALSE，则差分约束系统无可行解。

   关于n个未知量m个约束条件的一个差分约束系统产生出一个具有n+1个顶点和n+m条边的约束图。因此采用Bellman-Ford算法，可以再O((n+1)(n+m))=O(n^2+nm)时间内将系统解决。此外，可以用SPFA算法进行优化，复杂度为O(km)，其中k 为常数。