树状数组 学习笔记

树状数组可以用来求区间元素的和。
与前缀和做法不同,它支持值的修改。
比如说,现在我有一个数列a,要求你维护这个数列,使其支持两个操作。
1.改变数列第k项的值
2.查询从第i项到第j项的总值
暴力做法总是过不了所有点的,如果使用暴力,虽然操作1是O(1)的,但是操作2是O(n)的,没人对此复杂度满意。
假设原数列为a,我们的树状数组为c,那么,应该有下图的情况。
可以看出,每一个叶节点对应数组中的某个元素。
c[i]为第i列树上最高的那个点。
数组c就是树状数组。
(红色的点实际上是不存在的,但是为了美观我还是画上了)
(据说线段树就是再把这些右儿子补回来)
不难看出
对于每一个c[i],其值总是决定于其两个子节点,也就是每一个c[i]都是两个子节点的值的和。
现在有一个特殊操作,把下标转化成二进制,就有下图所示的样子
可以发现,叶节点的二进制位,其最低位必定是1,我们约定,这些节点上的c数组代表的值是只有一位的。
而对于最后两位是10的位,也就是c[2]和c[6],其位于二叉树的倒数第二层,我们约定,这些节点上的c数组所代表的值也是其下面所有叶节点的值之和。可以看出,在这一层的节点控制2个叶节点。
最后三位是100的位,也就是上图的c[4],其位于二叉树的倒数第三层,这一层的节点控制4个叶节点,c数组同理可以得出。
同样的,最后四位是1000的位,其位于二叉树的倒数第四层,它控制8个叶节点。
我们能不能扩展到一般情况呢?
可以。我们假设有一个二进制数m,从最低位向最高位数,如果拥有n个‘0’位,那么这个节点将控制2^n个叶节点,其上的c数组代表的是[m-2^n+1,m]的区间和。
那么2^n应该怎么求呢?有一个叫lowbit的东西,它能取得最低位的1表示的数。
那么lowbit的实现方法?
int lowbit(int m){return m&(-m);
}

 

可以证明,2^n = m & (-m) (位运算)
如果在改动a数组之后,还要花O(n)时间去修改c数组,那么树状数组就没有任何意义了,因为无法得到性能的提升,实际上,树状数组可以在O(logn)的时间内完成一次修改。
因为改动一次a,没有必要去把整个的c数组改动,只需改动一部分即可。
假如我们要改动a[3],那么显然的,我们要改动的c数组应该是c[3],c[4]和c[8],因为只有这几个点控制3号叶节点,其他的点不控制3号叶节点所以不受影响。
可以看出,c[3],c[4],c[8]是3号节点的祖先。
我们推广到一般情况,对于一次修改操作,我们怎样才能得知c数组的变化呢?
由之前二进制位的讨论,我们知道,对于一个点,这个点控制的叶节点大于1,那么这个点应该是某个点的父亲节点。
那么,一般的,如果一个a[i]发生改变,那么其对应的节点c[i]便也会发生改变,c[i]的父亲节点也会发生改变,c[i]的父亲节点的父亲节点也会发生改变……等等
下面是求c[n]的代码:
int sumele(int n){int sum = 0;while (n>0){sum += c[n];n -= lowbit(n);}return sum;
}

 

更新c[i]的代码:
void update(int i,int val){while (i<=n){c[i] += val;i += lowbit(i);}
}

 

这样。每次修改只有O(logn),达到预期的性能要求。
附luoguP3374(https://www.luogu.org/problem/show?pid=3374#sub) 树状数组模板题AC代码:
 1 #include <iostream>
 2 #define maxn 500005
 3 using namespace std;
 4 inline int read(){
 5     int num = 0;
 6     char c;
 7     bool flag = false;
 8     while ((c = getchar()) == ' ' || c == '\n' || c == '\r');
 9     if (c == '-')
10         flag = true;
11     else
12         num = c - '0';
13     while (isdigit(c = getchar()))
14         num = num * 10 + c - '0';
15     return (flag ? -1 : 1) * num;
16 }
17 int n,m;
18 int a[maxn],c[maxn];
19 int lowbit(int n){
20     return n&-n;
21 }
22 int sumele(int n){
23     int sum = 0;
24     while (n>0){
25         sum += c[n];
26         n -= lowbit(n);
27     }
28     return sum;
29 }
30 void update(int i,int val){
31     while (i<=n){
32         c[i] += val;
33         i += lowbit(i);
34     }
35 }
36 
37 int main(){
38     n = read();
39     m = read();
40     for (int i=1;i<=n;i++){
41         a[i] = read();
42         update(i,a[i]);
43     }
44     for (int i=1;i<=m;i++){
45         int opnum,x,y;
46         opnum = read();
47         x = read();
48         y = read();
49         if (opnum == 1){
50             update(x,y);
51         }
52         else
53             cout << sumele(y) - sumele(x-1) << endl;
54         
55     }
56     return 0;
57 }

 

转载于:https://www.cnblogs.com/OIerShawnZhou/p/7614471.html

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/369087.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

使用Spring Security添加RememberMe身份验证

我在“ 将社交登录添加到Jiwhiz博客”中提到&#xff0c;RememberMe功能不适用于Spring Social Security。 好吧&#xff0c;这是因为该应用程序现在不通过用户名和密码对用户进行身份验证&#xff0c;并且完全取决于社交网站&#xff08;例如Google&#xff0c;Facebook和Twit…

iOS动画-从UIView到Core Animation

首先&#xff0c;介绍一下UIView相关的动画。 UIView普通动画&#xff1a;[UIView beginAnimations: context:];[UIView commitAnimations]; 动画属性设置&#xff1a; 1 //动画持续时间2 [UIView setAnimationDuration:(NSTimeInterval)];3 //动画的代理对象4 …

视觉表现理论知识

本文地址&#xff1a;http://www.cnblogs.com/veinyin/p/7606714.html 终于可以知道视觉表现的实现方式&#xff0c;而不是一个一个的具体实现了&#xff0c;突然感到自己能够把握页面的整体布局了呢&#xff0c;似乎学到了表现背后的东西&#xff1f; 以下是一个突然发现自己…

java jnlp_java – 调试JNLP启动应用程序

解决方案#1 – 启用Java控制台,并查找异常.您可以通过Java控制面板完成.切换到“高级”选项卡,然后在Java控制台中确保选中“显示控制台”.然后,运行您的应用程序并监视控制台以查找异常.修复异常.解决方案#2 – 调试正在运行的应用程序(正确).像这样启动Web Start应用程序(适用…

201621123055《JAVA程序设计》第三周学习总结

1. 本周学习总结 1.1 写出你认为本周学习中比较重要的知识点关键词。 答&#xff1a;类、对象、关键字等。1.2 用思维导图或者Onenote或其他工具将这些关键词组织起来。(注&#xff1a;首次使用&#xff0c;不太会用软件&#xff09; 2. 书面作业 1.以面向对象方式改造数据结构…

通过运行示例从WSO2 ESB开始

我最近加入了一个新任务&#xff0c;在该任务中&#xff0c;我们必须基于WSO2工具栈实施ESB解决方案。 尽管我熟悉ESB的大多数概念以及其他一些实现&#xff08;例如Mule ESB &#xff09;&#xff0c;但这是我第一次必须使用WSO2 ESB 。 幸运的是&#xff0c;可以找到很多文档…

爬虫(十二):scrapy中spiders的用法

Spider类定义了如何爬去某个网站&#xff0c;包括爬取的动作以及如何从网页内容中提取结构化的数据&#xff0c;总的来说spider就是定义爬取的动作以及分析某个网页 工作流程分析 以初始的URL初始化Request&#xff0c;并设置回调函数&#xff0c;当该request下载完毕并返回时&…

position:fixed 兼容浏览器低版本

项目中遇到的坑&#xff0c;写篇博客做个笔记纪念下&#xff0c;position: fixed一般来说都兼容各个浏览器&#xff0c;但是要兼容浏览低版本问题&#xff0c;就得用-webkit-transform: translateZ(0);这段代码了。 项目中用到position: fixed;z-index: xxx;的时候&#xff0c;…

一些关于博主的xibusana

博主就是OI强省GD内偏远小渔村的咸鱼一条&#xff0c;雄性 高一开始入OI坑&#xff0c;从此走上了爆零和%大佬的不归路。 由于我的ID略多&#xff0c;所以你在网上可能找不到我哦v 2018/9/17 博主现在是一条走高考路的高三狗啊qvq 博客比较少上了&#xff0c;现在的目标还是考上…

监控java_Java应用程序监控JavaMelody

JavaMelody是运行在Java Web容器中&#xff0c;用来监控Java内存和J服务器CPU使用情况&#xff0c;用户Session数量&#xff0c;JDBC连接数&#xff0c;和http请求、sql请求等的执行数量&#xff0c;平均执行时间&#xff0c;错误百分比等。图表可以按天&#xff0c;周&#xf…

Heroku和Java –从新手到初学者,第1部分

最近&#xff0c;我听说Heroku允许在Cedar堆栈中部署Java应用程序。 由于没有真正的软件构想&#xff0c;我决定尝试一下&#xff0c;仅将SOMETHING配置为可在Heroku上运行。 我对ReST有一些迷恋&#xff08;我仍然想学习并练习&#xff09;&#xff0c;所以我决定我的第一个应…

【谈谈IO】BIO、NIO和AIO

BIO: BIO是阻塞IO&#xff0c;体现在一个线程调用IO的时候&#xff0c;会挂起等待&#xff0c;然后Thread会进入blocked状态&#xff1b;这样线程资源就会被闲置&#xff0c;造成资源浪费&#xff0c;通常一个系统线程数是有限的&#xff0c;而且&#xff0c;Thread进入内核态也…

css动画-模拟正余弦曲线

今天就写一个css3抛物线的动画吧 从左到右的抛物线动画&#xff0c;我们就暂且把动作分为匀速向右运动和变速的上下运动。 水平匀速运动我们可以利用 translateX(x)&#xff1a;定义 2D 转换&#xff0c;沿着 X 轴移动元素&#xff1b;以及linear&#xff1a;动画从头到尾的速…

UVA-11549 Calculator Conundrum

InputThe first line of the input contains an integer t (1 ≤ t ≤ 200), the number of test cases. Each test casecontains two integers n (1 ≤ n ≤ 9) and k (0 ≤ k < 10 n ) where n is the number of digits this calculatorcan display k is the starting num…

java 当前类_Java获取当前类名的两种方法

适用于非静态方法&#xff1a;this.getClass().getName()适用于静态方法&#xff1a;Thread.currentThread().getStackTrace()[1].getClassName()获取类名&#xff1a;1、在类的实例中可使用this.getClass().getName();但在static method中不能使用该方法&#xff1b;2、在stat…

具有内部类构造函数参数的Java Reflection奇数

关于Java内部类 Java允许成员类&#xff08;在其他类内定义的类&#xff09;&#xff0c;局部类&#xff08;在语句块内定义的类&#xff09;和匿名类&#xff08;无名称的类&#xff09;&#xff1a; class Outer {Object anonymous new Object(){}; // this is an anonymou…

HDOJ 1012-1020

最近感冒了&#xff0c;有点小咳嗽&#xff0c;做题速度比较慢&#xff0c;本以为这周会做的比较少&#xff0c;没想到全是水题。。。我做的也蛮开心的....对自己无语HDOJ 1012这个题目蛮简单&#xff0c;就是输出格式比较烦&#xff0c;处理好格式基本就没问题了HDOJ 1013这个…

静态页面如何实现 include 引入公用代码

一直以来&#xff0c;我司的前端都是用 php 的 include 函数来实现引入 header 、footer 这些公用代码的&#xff0c;就像下面这样&#xff1a; <!-- index.php --><!DOCTYPE html><html lang"en"><head><meta charset"UTF-8"&…

java list 循环赋值_Java List集合的坑(add方法报空指针,循环赋值时list已保存的值会改变)...

先看空指针异常&#xff1a;ListmovieInfos null;这样创建时&#xff0c;list指向为空&#xff0c;修改方法&#xff1a;ListmovieInfos new ArrayList();再看list循环赋值的问题&#xff1a;问题描述&#xff1a;for (i0;i<10;i){movieInfoSum.movieId (int)recommendatio…

ros使用时的注意事项技巧

1.rosrun package-name executable-name 比如 rosrun turtlesim turtlesim_node 2.一旦启动roscore后,便可以运行ROS程序了。ROS程序的运行实例被称为节点(node)&#xff0c;roscore叫做节点管理器 3.查看节点列表rosnode list 4.需要注意节点名并不一定与对应可执行文件名称相…