泰勒级数

条件不多说了，函数$f(x)$在点$x=x_0$出展开为
$$f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+\cdots$$

超量均方误差（超量MSE）

误差$e(k)$，则$\xi (k)$为$e(k)$平方的期望（也是MSE曲面），即
$$\xi (k)=E\left[e^2(k)\right]$$

$$e(k)=e_0(k)-\Delta {\mathbf{w}}^T(k)\mathbf{x}(k)$$

式中，$e_0(k)$为最优输出误差$e_0(k)=d(k)-{\mathbf{w}}_0^{\mathbf{T}}\mathbf{x}(k)$，其平方的期望为${\xi }_{\min }$

$\mathbf{R}=E\left[\mathbf{x}(k){\mathbf{x}}^T(k)\right]$

$$\begin{gathered} \xi (k)={\xi }_{\min }+\mathrm{tr}\left\{E\left[\mathbf{x}(k){\mathbf{x}}^T(k)\right]E\left[\Delta \mathbf{w}(k)\Delta {\mathbf{w}}^T(k)\right]\right\} \\ ={\xi }_{\min }+E\left[\Delta \mathbf{w}(k)\Delta {\mathbf{w}}^T(k)\right] \end{gathered}$$

则MSE的超量定义为

$$\Delta \xi (k)\triangleq \xi (k)-{\xi }_{\min }$$

超量均方误差为

$${\xi }_{\text{exc}}=\underset{k\to \infty }{\lim }\Delta \xi (k)$$

重要关系式：$$\mathrm{tr}\left[\mathbf{R}\right]=E\left[{\left|\mathbf{x}(k)\right|}^2\right]$$

$G_2(f_B,\tau )$与$\tau$的关系

$\tau$为矩形脉冲的宽度，则经过归一化
$$G_2(f_B,\tau )=sin(\pi f_B\ast \tau )/\pi$$

当$\tau =0.1T_s$时，$G_2(f_B,\tau )=sin(0.1\pi )/\pi =0.0984$
当$\tau =0.5T_s$时，$G_2(f_B,\tau )=sin(0.5\pi )/\pi =0.3183$
当$\tau =0.9T_s$时，$G_2(f_B,\tau )=sin(0.9\pi )/\pi =0.0984$

向量范数

定义一个向量为：a=[-5,6,8,10]。

• 向量的1范数：向量的各个元素的绝对值之和，上述向量a的1范数结果就是：29。
• 向量的2范数：向量的各个元素的平方和再开平方根，上述a的2范数结果就是：15。
• 向量的负无穷范数：向量的所有元素的绝对值中最小的：上述向量a的负无穷范数结果就是：5。
• 向量的正无穷范数:向量的所有元素的绝对值中最大的：上述向量a的正无穷范数结果就是：10。

三角函数积分公式

麦克劳林展开式

幂级数求和、常见不等式

幂级数展开式

常见等价关系