【2021.02.09更新】数字信号处理公式推导

卷积

h(t)⊗x(t)=∫−∞+∞h(τ)x(t−τ)dτh(t) \otimes x(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h(\tau )x(t - \tau )d\tau }h(t)x(t)=+h(τ)x(tτ)dτ

τ=u+t2\tau = u + \frac{t}{2}τ=u+2t,则

h(t)⊗x(t)=∫−∞+∞h(u+t2)x(−u+t2)duh(t) \otimes x(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h(u + \frac{t}{2})x( - u + \frac{t}{2})du}h(t)x(t)=+h(u+2t)x(u+2t)du

h(t)⊗x(−t)=∫−∞+∞h(u+t2)x(u−t2)duh(t) \otimes x( - t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h(u + \frac{t}{2})x(u - \frac{t}{2})du}h(t)x(t)=+h(u+2t)x(u2t)du

序列傅里叶变换(SFT)性质

SFT[1]=2πδ~(ω)2\pi\tilde \delta (\omega )2πδ~(ω),其中δ~(ω)\tilde \delta (\omega )δ~(ω)为以2π2\pi2π为周期的周期单位冲激函数。
SFT[ejω0n{e^{j{\omega _0}n}}ejω0n]=2πδ~(ω−ω0)2\pi\tilde \delta (\omega - \omega _0)2πδ~(ωω0)

周期为NNN的周期序列x~(n)\tilde x(n)x~(n)的序列傅里叶变换

X(ejω)=2πN∑k=−∞+∞X~(k)δ(ω−2πNk)X({e^{j\omega }}) = \frac{{2\pi }}{N}\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {\tilde X(k)\delta (\omega - \frac{{2\pi }}{N}k)}X(ejω)=N2πk=+X~(k)δ(ωN2πk)P76P_{76}P76

x~(t)\tilde x(t)x~(t)

x~(t)=∑n=−∞∞x~(n)δ(t−nT0)\tilde x(t) = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\tilde x(n)\delta (t - n{T_0})}x~(t)=n=x~(n)δ(tnT0)

是由x(t)x(t)x(t)TTT为周期进行延拓后以T0T_0T0为间隔进行采样得到的。x~(n)\tilde x(n)x~(n)周期为NNN,即每个周期有NNN个采样点,则x~(t)\tilde x(t)x~(t)是周期为T=NT0T=NT_0T=NT0的采样信号,是连续信号,其傅里叶变换为。

X~(jΩ)=X(ejω)∣ω=ΩT0=2πN∑k=−∞+∞X~(k)δ(ΩT0−2πNk)=2πNT0∑k=−∞+∞X~(k)δ(Ω−2πNT0k)=2πT∑k=−∞+∞X~(k)δ(Ω−2πTk)\tilde X(j\Omega ) = {\left. {X({e^{j\omega }})} \right|_{\omega = \Omega {T_0}}}\\ = \frac{{2\pi }}{N}\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {\tilde X(k)\delta (\Omega {T_0} - \frac{{2\pi }}{N}k)} \\ = \frac{{2\pi }}{{N{T_0}}}\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {\tilde X(k)\delta (\Omega - \frac{{2\pi }}{{N{T_0}}}k)} \\ = \frac{{2\pi }}{T}\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {\tilde X(k)\delta (\Omega - \frac{{2\pi }}{T}k)}X~(jΩ)=X(ejω)ω=ΩT0=N2πk=+X~(k)δ(ΩT0N2πk)=NT02πk=+X~(k)δ(ΩNT02πk)=T2πk=+X~(k)δ(ΩT2πk)

那么Tx~(t)↔∑k=−∞+∞2πX~(k)δ(Ω−2πTk)T\tilde x(t) \leftrightarrow \sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {2\pi \tilde X(k)\delta (\Omega - \frac{{2\pi }}{T}k)}Tx~(t)k=+2πX~(k)δ(ΩT2πk),也就是下面图中的公式。
在这里插入图片描述

SaSaSa函数与sincsincsinc函数的区别

Sa(x)=sin⁡xxSa(x) = \frac{{\sin x}}{x}Sa(x)=xsinx

sinc(x)=sin⁡(πx)πxsinc(x) = \frac{{\sin (\pi x)}}{{\pi x}}sinc(x)=πxsin(πx)

线性卷积与循环卷积

循环卷积序列是线性卷积序列以循环卷积的长度为周期周期延拓后的主值序列。

  • 循环卷积序列 是有限的。

时域循环卷积定理

有限长序列x1(n)x_1(n)x1(n)x2(n)x_2(n)x2(n)的长度分别为N1N_1N1N2N_2N2,取N⩾max⁡[N1,N2]N \geqslant \max[N_1,N_2]Nmax[N1,N2]y(n)y(n)y(n)x1(n)x_1(n)x1(n)x2(n)x_2(n)x2(n)的循环卷积,即y(n)=x1(n)⊗x2(n)y(n)=x_1(n)\otimes x_2(n)y(n)=x1(n)x2(n),则

Y(k)=DFT⁡[y(n)]=X1(k)X2(k),0⩽k⩽N−1Y(k) = \operatorname {DFT} \left[ {y(n)} \right] = {X_1}(k){X_2}(k),0 \leqslant k \leqslant N - 1Y(k)=DFT[y(n)]=X1(k)X2(k),0kN1

X1(k)X_1(k)X1(k)X2(k)X_2(k)X2(k)分别是x1(n)x_1(n)x1(n)x2(n)x_2(n)x2(n)NNN点DFT。

结论:当循环卷积长度N⩾max⁡[N1,N2]N \geqslant \max[N_1,N_2]Nmax[N1,N2]时,循环卷积可用DFT来计算。

概率密度函数的特征函数

概率密度函数的傅里叶变换

a=0a=0a=0γ=σ2=1\gamma=\sigma^2=1γ=σ2=1时,成为标准α\alphaα稳定分布
β=0\beta=0β=0时称为对称分布,简称SαSS\alpha SSαS分布

功率归一化

使信号的功率为1,即

y′=y1N∑n=0N−1∣y(n)∣2y' = \frac{y}{{\sqrt {\frac{1}{N}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\left| {y(n)} \right|}^2}} } }}y=N1n=0N1y(n)2y

剩余码间干扰(ISI)定义

ISI=∑∣θ(n)∣2max⁡∣θ(n)∣2ISI = \frac{{\sum {{{\left| {\theta (n)} \right|}^2}} }}{{\max {{\left| {\theta (n)} \right|}^2}}}ISI=maxθ(n)2θ(n)2


ISI=∑∣θ(n)∣2−max⁡∣θ(n)∣2max⁡∣θ(n)∣2ISI = \frac{{\sum {{{\left| {\theta (n)} \right|}^2}} - \max {{\left| {\theta (n)} \right|}^2}}}{{\max {{\left| {\theta (n)} \right|}^2}}}ISI=maxθ(n)2θ(n)2maxθ(n)2

能量信号的能量谱密度

能量信号:能量有限,平均功率为0
若能量信号s(t)的傅里叶变换(频谱密度)为S(f),则称∣S(f)∣2{\left| {S(f)} \right|^2}S(f)2为能量谱密度
物理意义:表示频率f处宽度为df的频带内的信号能量,或者单位频带内的信号能量

功率信号的功率谱密度

功率信号:能量无限,功率有限
对功率信号分段,求一段的能量谱密度∣ST(f)∣2{\left| {{S_T}(f)} \right|^2}ST(f)2,则定义

lim⁡T→∞1T∣ST(f)∣2\mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \frac{1}{T}{\left| {{S_T}(f)} \right|^2}TlimT1ST(f)2

为功率信号的功率谱密度

物理意义:能量/时间,单位频带内信号的功率

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