文章目录

高精度
- 高精度加法
- 高精度减法
- 高精度乘法
- 高精度除法
前缀和
- 一维前缀和
- 二维前缀和--求子矩阵中一部分和
差分
- 一维差分
- 二维差分

高精度

高精度加法

791
给定两个正整数（不含前导 0），计算它们的和。输入格式
共两行，每行包含一个整数。输出格式
共一行，包含所求的和。数据范围
1≤整数长度≤100000
输入样例：
12
23
输出样例：
35

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
// C = A + B
vector<int> add(vector<int> &A,vector<int> &B)  // 引用：提升效率，不加引用需要拷贝
{vector<int> C;int t = 0;  //上一次进位,最终用t来存储最终结果for(int i = 0; i < A.size()|| i < B.size();i++){if(i < A.size()) t+=A[i];  //从上一次进位的基础上累加if(i < B.size()) t+=B[i];//t表示该位上的总的结构，结果vector中需要插入的是模10后的余数C.push_back(t%10);t /= 10; //用于下一次累加}if(t) C.push_back(t);return C;}int main()
{string a,b; //用字符串读 123456vector<int> A,B,C;  //存储到vector容器中去cin>>a>>b;//逆序for(int i = a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0'); // A 654321 for(int i = b.size()-1;i>=0;i--) B.push_back(b[i]-'0');C = add(A,B);//倒着输出，先输出最高位，再输出次高位for(int i =C.size()-1;i>=0;i--) printf("%d",C[i]);return 0;
}

高精度减法

792
给定两个正整数（不含前导 0），计算它们的差，计算结果可能为负数。输入格式
共两行，每行包含一个整数。输出格式
共一行，包含所求的差。数据范围
1≤整数长度≤105
输入样例：
32
11
输出样例：
21

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
//判断是否A>=B
bool cmp(vector<int> &A,vector<int> &B)
{//首先判断位数 判断大小只要不等直接返回A.size()>B.size()if(A.size()!= B.size()) return A.size()>B.size();// i--时，第二个判断条件为>=,i++时,第二个条件可以为 <for(int i = A.size()-1;i>=0;i--)if(A[i]!=B[i])//判断大小只要不等直接返回A.size()>B.size()return A[i]>B[i];return true;
}
vector<int> sub(vector<int> &A,vector<int> &B)
{vector<int> C;for(int t = 0,i = 0;i < A.size();i++){//t 上次运算的借位t = A[i] - t;if(i < B.size()) t -=B[i];// t>=0 -- t  t<0 ---t+10C.push_back((t+10)%10);if(t < 0) t = 1;else t = 0;}//清空前置0，如果本身是0，不进行前导0 即C.size()>1while(C.size()>1 && C.back() == 0) C.pop_back();return C;
}int main()
{string a,b;vector<int> A,B,C;cin>>a>>b;for(int i = a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');for(int i  =b.size()-1;i>=0;i--) B.push_back(b[i]-'0');if(cmp(A,B)){C = sub(A,B);}else{C = sub(B,A);printf("-");}for(int i =C.size()-1;i>=0;i--) printf("%d",C[i]);return 0;
}

高精度乘法

793
给定两个非负整数（不含前导 0） A 和 B，请你计算 A×B 的值。输入格式
共两行，第一行包含整数 A，第二行包含整数 B。输出格式
共一行，包含 A×B 的值。数据范围
1≤A的长度≤100000,
0≤B≤10000
输入样例：
2
3
输出样例：
6

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;//C = A * b
vector<int> mul(vector<int> &A,int b)
{vector<int> C;int t = 0; //进位//需要判断两种情况 A的位数没有处理完  或者  进位没有处理完for(int i = 0;i<A.size()||t;i++){if(i<A.size()) t += A[i]*b;//插入模10后的余数C.push_back(t%10);t/=10;}while(C.size() > 1&& C.back() == 0) C.pop_back();return C;
}/*
如果将for循环两个条件拆开，可以采用这种写法，但和在一块写效果更好
vector<int > mul(vector<int > &a,int &b)
{int t = 0;for(int i = 0;i < a.size();i++){t += a[i]*b;c.push_back(t%10);t /=10;}while(t) {c.push_back(t%10);t /= 10;}while(c.size() > 1 && c.back() == 0) c.pop_back();return c;
}*/int main()
{string a;vector<int> A;int b;cin>>a>>b;for(int i = a.size()-1;i>=0;i--){A.push_back(a[i]-'0');}// for(int i =A.size()-1;i>=0;i--) printf("%d",A[i]);auto c = mul(A,b);for(int i =c.size()-1;i>=0;i--) printf("%d",c[i]);return 0;
}

高精度除法

举例

794
给定两个非负整数（不含前导 0） A，B，请你计算 A/B 的商和余数。输入格式
共两行，第一行包含整数 A，第二行包含整数 B。输出格式
共两行，第一行输出所求的商，第二行输出所求余数。数据范围
1≤A的长度≤100000,
1≤B≤10000,
B 一定不为 0
输入样例：
7
2
输出样例：
3
1

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;//A/b 商是C，余数是r,r通过引用传递
vector<int> div(vector<int> &A,int b,int &r)
{vector<int> C;r = 0;  //r代表上一次的余数//除法从最高位开始看；注意i++还是i--for(int i = A.size()-1;i>=0;i--){//r * 10 把r整体向高位移动一位，将最后一位空出来r = r * 10 + A[i];//从头开始除，r/b不会是两位数C.push_back(r / b);r %= b;}//C中最低位存的是最高位，最高位存的是最低位reverse(C.begin(),C.end());//前导0while(C.size() > 1 && C.back()==0) C.pop_back();return C;}int main()
{string a;vector<int> A;int b;cin>>a>>b;for(int i = a.size()-1;i>=0;i--){A.push_back(a[i]-'0');}int r;auto c = div(A,b,r);for(int i =c.size()-1;i>=0;i--) printf("%d",c[i]);cout<<endl<<r<<endl;return 0;
}

理解

代码背的不是字母，背的是思路

前缀和

一维前缀和

S0= 0

作用：快速求出原数组中一段的和

注意1:此处为S_r - S_l-1

**注意2：下标从1开始：**定义S0 = 0

好处：主要是处理边界，统一处理所有情况；不需要进行特判

输入一个长度为 n 的整数序列。接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。第二行包含 n 个整数，表示整数数列。接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。输出格式
共 m 行，每行输出一个询问的结果。数据范围
1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例：
3
6
10

#include <iostream>
using namespace std;
//统一表示数组长度，避免每次定义数组声明长度
const int N = 100010;
int n,m;
int a[N],s[N];
int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);//对于数组输入来说，用for比用while更加方便for(int i = 1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);for(int i = 1;i<=n;i++) s[i] = s[i-1] + a[i];  //前缀和的初始化while(m--){int l ,r;scanf("%d%d",&l,&r);printf("%d\n",s[r]-s[l-1]);  //区间和的计算}return 0;
}

二维前缀和–求子矩阵中一部分和

求S_ij–四部分矩形组合:拆出来a_ij==>S_i-1,j S_i,j-1 S_i-1,j-1

求子矩形的面积–四部分矩形组合

S_x2y2

X不变：X2，Y变：Y1-1

Y不变： Y2，X变：X1-1

S_x1-1,y2 S_x2,y1-1

S_x1-1,y1-1

具体分析

//796
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。输入格式
第一行包含三个整数 n，m，q。接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。输出格式
共 q 行，每行输出一个询问的结果。数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例：
17
27
21

#include <iostream>const int N =1010;
int n,m,q;
int a[N][N],s[N][N];
int main()
{scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);for(int i = 1;i<= n;i++)for(int j = 1;j<= m;j++)scanf("%d",&a[i][j]);for(int i = 1;i<=n;i++)for(int j = 1;j<=m;j++)s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1]+a[i][j]; //求前缀和while(q--){int x1,y1,x2,y2;scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]);  //算子矩阵的部分和}return 0;
}

差分

一维差分

差分是前缀和的逆运算

好处：对某个区间的数据加和减小了时间复杂度

差分：

a[N],b[N]全部初始化为0，b[N]不需要单独构造，只需要在a[N]基础上进行增值的操作即可，即不存在构造函数

输入一个长度为 n 的整数序列。接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。请你输出进行完所有操作后的序列。输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。第二行包含 n 个整数，表示整数序列。接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。输出格式
共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。数据范围
1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例：
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1
输出样例：
3 4 5 3 4 2

#include <iostream>using namespace std;const int N = 100010;int n,m;
int a[N],b[N];void insert(int l,int r,int c)
{b[l] += c;b[r+1] -= c;
}int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);for(int i = 1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);for(int i = 1;i<=n;i++ ) insert(i,i,a[i]);while(m--){int l,r,c;scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);insert(l,r,c);}for(int i = 1;i<=n;i++) b[i] +=b[i-1];  //构造前缀和for(int i = 1;i<=n;i++) printf("%d ",b[i]);return 0;    
}

二维差分

差分都不考虑人工构造，只考虑如何更新

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。请你将进行完所有操作后的矩阵输出。输入格式
第一行包含整数 n,m,q。接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

#include <iostream>using namespace std;const int N = 1010;
int a[N][N], b[N][N];
int n,m,q;void insert(int x1,int y1,int x2 ,int y2,int c)
{b[x1][y1] += c;b[x2 + 1][y1] -= c;b[x1][y2 + 1] -= c;b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}int main()
{scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);for(int i = 1;i<=n;i++)for(int j = 1;j<=m;j++)scanf("%d",&a[i][j]);for(int i = 1;i<=n;i++)for(int j = 1;j <= m;j++ )insert(i,j,i,j,a[i][j]);while(q--){int x1,y1,x2,y2,c;//输入数据不要弄错顺序//结果与预期不同，先检查输入有没有错误scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&c);insert(x1,y1,x2,y2,c);}for(int i = 1;i<=n;i++)for(int j = 1;j<=m;j++)b[i][j] += b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];for(int i = 1;i<=n;i++){for(int j = 1;j<=m;j++)printf("%d ",b[i][j]);printf("\n");}return 0;}