文章目录
- 朴素版Prim
- Kruskal算法
- 染色法
- 匈牙利算法
朴素版Prim
给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。数据范围
1≤n≤500,
1≤m≤105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000。输入样例：
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例：
6
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 510,INF = 0x3f3f3f3f;int n,m;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];int prim()
{memset(dist,0x3f,sizeof dist);int res = 0;for(int i = 0;i < n;i++){int t = -1;for(int j = 1;j <= n;j++)if(!st[j] && (t==-1 || dist[t]>dist[j]))t = j;if(i && dist[t] == INF) return INF;if(i) res += dist[t];for(int j = 1;j <= n; j++ ) dist[j] = min(dist[j],g[t][j]);st[t] = true;}return res;
}int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);memset(g,0x3f,sizeof g);while(m--){int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);g[a][b] = g[b][a] =min(g[a][b],c);}int t = prim();if(t == INF) printf("impossible");else printf("%d\n",t);return 0;}
Kruskal算法
给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。数据范围
1≤n≤105,
1≤m≤2∗105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 1000。输入样例：
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例：
6
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 100010, M = 200010, INF = 0x3f3f3f3f;int n, m;
//并查集中p
int p[N];
//不需要邻接表与图，只需要一个结构体
struct Edge
{int a, b, w;//重载小于号，方便排序bool operator< (const Edge &W)const{return w < W.w;}
}edges[M];int find(int x)
{if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);return p[x];
}int kruskal()
{//排序sort(edges, edges + m);for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i; // 初始化并查集//res:最小生成树中所有树边的权重之和，cnt：当前加入了多少条边int res = 0, cnt = 0;//从小到大枚举所有边for (int i = 0; i < m; i ++ ){int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;//找到集合a = find(a), b = find(b);//两个集合不连通if (a != b){//合并集合p[a] = b;//更新两个变量//res:最小生成树中所有树边的权重之和，cnt：当前加入了多少条边res += w;cnt ++ ;}}//加的边数小于n-1 说明不连通if (cnt < n - 1) return INF;//输出长度之和return res;
}int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 0; i < m; i ++ ){int a, b, w;scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);edges[i] = {a, b, w};}int t = kruskal();if (t == INF) puts("impossible");else printf("%d\n", t);return 0;
}
染色法
染色法：判断一个图是不是二分图
性质：一个图是二分图当且仅当图中不含奇数环
奇数环：环的边的数量是奇数
二分图：把所有点分为两边，使得所有边都在集合之间，集合内部没有边
如果不含奇数环一定是二分图
从前向后遍历，如果没有遍历过，染为一种颜色，将其余所有与它连通的点染为相反的颜色。
一条边的两个点一定属于不同的集合
一个连通块只要一个点确定了，其余所有点的颜色都确定了
由于图中没有奇数环，所以染色一定不会矛盾【反证法证明】
步骤：用bfs【bfs不用手写队列，代码比bfs要短】
给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环。请你判断这个图是否是二分图。输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。接下来 m 行，每行包含两个整数 u 和 v，表示点 u 和点 v 之间存在一条边。输出格式
如果给定图是二分图，则输出 Yes，否则输出 No。数据范围
1≤n,m≤105
输入样例：
4 4
1 3
1 4
2 3
2 4
输出样例：
Yes
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 100010, M = 200010;int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
//表明当前点有没有被染过颜色
int color[N];void add(int a, int b)
{e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}bool dfs(int u, int c)
{//记录当前点的颜色color[u] = c;//遍历邻接点for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];//如果没有染过颜色if (!color[j]){//染成另外一种颜色：如果是1，染成2，如果是2，染成1//如果染色失败，返回falseif (!dfs(j, 3 - c)) return false;}//如果已经染过颜色，判断是否矛盾即可else if (color[j] == c) return false;}return true;
}int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);//经常用到的邻接表存储图的方式memset(h, -1, sizeof h);while (m -- ){int a, b;scanf("%d%d", &a, &b);add(a, b), add(b, a);}//flag表示染的过程是否有矛盾发生bool flag = true;for (int i = 1; i <= n; i ++ )if (!color[i]){//如果dfs返回false，就定义有矛盾发生if (!dfs(i, 1)){flag = false;break;}}//flag等于true，过程很完美，没有矛盾发生if (flag) puts("Yes");else puts("No");return 0;
}
匈牙利算法
基本思路：左右两边匹配成功的最大数是多少
匹配：边的数量
匹配成功：没有两条边共用一个点
算法思路：
最坏情况下时间复杂度：O(n*m)[每个男生遍历所有女生]
给定一个二分图，其中左半部包含 n1 个点（编号 1∼n1），右半部包含 n2 个点（编号 1∼n2），二分图共包含 m 条边。数据保证任意一条边的两个端点都不可能在同一部分中。请你求出二分图的最大匹配数。二分图的匹配：给定一个二分图 G，在 G 的一个子图 M 中，M 的边集 {E} 中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称 M 是一个匹配。二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。输入格式
第一行包含三个整数 n1、 n2 和 m。接下来 m 行，每行包含两个整数 u 和 v，表示左半部点集中的点 u 和右半部点集中的点 v 之间存在一条边。输出格式
输出一个整数，表示二分图的最大匹配数。数据范围
1≤n1,n2≤500,
1≤u≤n1,
1≤v≤n2,
1≤m≤105
输入样例：
2 2 4
1 1
1 2
2 1
2 2
输出样例：
2
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;
//虽然是无向图，只会找左边起点的边，只需要存左边指向右边
const int N = 510, M = 100010;int n1, n2, m;
//邻接表
int h[N], e[M], ne[M], idx;
//右边点对应的点
int match[N];
//判重
bool st[N];void add(int a, int b)
{e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}bool find(int x)
{//枚举男生看上的妹子for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i]){//j为连接点的编号int j = e[i];//不重复考虑if (!st[j]){//设置标志st[j] = true;//如果没有匹配任何男生或者匹配的男生可以找到下家//两种情况只要有一种成功if (match[j] == 0 || find(match[j])){//当前妹子匹配男生match[j] = x;return true;}}}//实在不行，返回falsereturn false;
}int main()
{scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m);memset(h, -1, sizeof h);while (m -- ){int a, b;scanf("%d%d", &a, &b);add(a, b);}//res当前匹配的数量int res = 0;//一次分析男生for (int i = 1; i <= n1; i ++ ){//将所有女生标志清空,保证只考虑一遍memset(st, false, sizeof st);//找到if (find(i)) res ++ ;}printf("%d\n", res);return 0;
}
