被除数 dividend 用 a 表示；
除数 divisor 用 b 表示；
商 quotient 用 q 表示；
余 remainder 用 rem 表示；
模 modulo 用 mod 表示。

背景

最近在一道 Java 习题中，看到这样的一道题：

What is the output when this statement executed:
System.out.printf(-7 % 3);

正整数的取余运算大家都很熟悉，但是对于负数、实数的取余运算，确实给人很新鲜的感觉。于是我对此进行了一些探索。我发现，这里面还是颇有一点可以探索的东西的。

探究

首先，看看自然数的取模运算（定义1）:

如果 a 和 b 是两个自然数，b 非零，可以证明存在两个整数 q 和 r，满足 a = q*b + r 且0 ≤ r < b。其中，q 被称为商，r 被称为余数。

我们计算下 (-7) % 3，这个表达式正常情况下是求余数，计算过程如下图所示：

按自然数的除法运算规则，得到商值：-3，余数：2，且完全满足上述两个关系表达式：-7 = (-3)*3 + 2 且 0 ≤ 2 ＜ 3。

那么，各种编程语言和计算器是否是按照这样的规则计算呢？下面列举了几个程序运算的结果：

程序	语句	输出
C++（G++ 编译）	cout << (-7) % 3;	-1
Java（1.6）	System.out.println((-7) % 3);	-1
Python 2.6	(-7) % 3	2
百度计算器	(-7) mod 3	2
Google 计算器	(-7) mod 3	2

可以看到，结果特别有意思。这个问题是百家争鸣的。看来我们不能直接把自然数的法则用在负数上。实际上，在整数范围内，自然数的求余法则并不被很多人所接受，大家大多认可的是下面的这个（定义 2）：

如果 a 和 b 是两个自然数，b 非零，可以证明存在两个整数 q 和 r，满足 a = q*b + r 且0 ≤ |r| < |b|。其中，q 被称为商，r 被称为余数。

可以看到，上述定义导致了有负数的求余并不是我们想象的那么简单，根据上述的定义，我们计算下 (-7) % 3，计算过程如下图所示：

注：按自然数的除法运算规则（定义 1），商和除数的乘积要小于等于被减数才行，但是很多程序并没有遵循定义 1的运算规则，所以依据定义 2的规则，商和除数的乘积可以大于被减数，使用上图所示的技巧计算时，商与除数的乘积必须接近被减数，然后计算得到结果，再验证定义 2的两个表达式是否成立。当然了如果你直接使用定义 2的两个表达式硬套出 p 和 r 的值也可以，不过不推荐。

如上图所示可以得到两组结果：

1. 商 -3，余 2
2. 商 -2，余 -1

这两组结果都满足“定义 2”的表达式，也就是说 2 和 -1 都是 (-7) % 3 正确的结果， 所以问题来了到底余数是 2 还是 -1 呢？这个问题最后会给出答案。

我们把 2 和 -1 分别叫做正余数和负余数。通常，整数 a 除以整数 b 时，如果得到正余数为 r1，负余数为 r2，那么存在这样的关系：r1 = r2 + b。

看完了 (-7) % 3，下面我们来看一看 7 % (-3) 的情况。根据定义 2，计算过程如下图所示：

如上图所示，可以得到两组结果：

1. 商 -2，余 1
2. 商 -3，余 -2

语言	语句	输出
C++（G++ 编译）	cout << 7 % (-3);	1
Java（1.6）	System.out.println(7 % (-3));	1
Python 2.6	7 % (-3)	-2
百度计算器	7 mod (-3)	-2
Google 计算器	7 mod (-3)	-2

从中我们看到几个很有意思的现象：

1. Java 紧随 C++ 的步伐，而 Python、Google、百度步调一致。难道真是物以类聚？联想一下，Google 一直支持 Python，Python 也颇有 Web 特色的感觉，而且 Google Application Engine 也用的 Python，国内的搜索引擎也不约而同地按照 Google 的定义进行运算。

2. 可以推断，C++ 和 Java 通常会尽量让商更大一些。比如在 (-7) mod 3中，他们以 -2 为商，余数为 -1。在 Python 和 Google 计算器中，尽量让商更小，所以以 -3 为商。在 7 mod (-3) 中效果相同：C++ 选择了 3 作为商，Python 选择了 2 作为商。但是在正整数运算中，所有语言和计算器都遵循了尽量让商小的原则，因此 7 mod 3 结果为 1 不存在争议，不会有人说它的余数是 -2。

上述的认知其实是错误的，纠正如下：
Java 和 C++ 的 % 是求余运算符，求余遵循让商向 0 靠近的原则（即商向 0 方向舍入取整），也就是说求余是取 q 更趋近 0 时的 r，所以 Java 和 C++ 计算 7 % (-3) 的结果是 1，因为商 -2 更靠近 0；而 Python 的 % 是取模运算符，取模遵循让商向负无穷靠近的原则（商向无穷小方向舍入取整，向负无穷方向舍入取整），也就是说取模是取 q 更趋近无穷小（负无穷）时的 r，所以 Python、百度、谷歌输出的结果是 -2，因为 -3 更靠近负无穷的方向。

如果按照第二点的推断，我测试一下 (-7) % (-3)，结果应该是前一组语言（C++，Java）返回 2，后一组返回 -1。（请注意这只是假设）

于是我做了实际测试：

语言	语句	输出
C++（G++ 编译）	cout << -7 % (-3);	-1
Java（1.6）	System.out.println(-7 % (-3));	-1
Python 2.6	-7 % (-3)	-1
百度计算器	-7 mod (-3)	-1
Google 计算器	-7 mod (-3)	-1

结果让人大跌眼镜，所有语言和计算机返回结果完全一致。

这个眼镜也白跌了，上述结果完全符合求余时商向 0 靠近的原则，取模时商向负无穷方向靠近的原则，所以都输出 -1 根本就在预料之内。

我们看下 (-7) % (-3) 的运算过程，如下图所示：

所以根据求余时商向 0 靠近的原则，取模时商向负无穷方向靠近的原则，求余和取模的商都选择 2，所以余数和模数都是 -1，结果输出的都是 -1。

总结

我们由此可以总结出下面两个结论：

1. 对于任何同号的两个整数，其取余结果没有争议，所有语言的运算原则都是使商尽可能小。
2. 对于异号的两个整数，C++/Java语言的原则是使商尽可能大，很多新型语言和网页计算器的原则是使商尽可能小。

这个总结也是错误的。

最后总结：除法运算遵循定义 2的规则，求余是取 q 更趋近 0 时的 r，取模是取 q 更趋近负无穷的 r，如果被除数和除数符号相同，因为取相同的商值，所以余数和模数相同，被除数和除数的符号不同，则余数和模数会不同。