P3951,jzoj5473-小凯的疑惑【数论】(NOIP2017提高组)

#正题
评测记录:
https://www.luogu.org/recordnew/show/8283818


大意

两个币值(互质正整数),求不能完全(需要找零)的最贵的东西。


解题思路

首先众所周知ax+by=c而且a和b互质的正整数,c为正整数那么x和y一点有整数解
证明:

证明:因为x0,y0是方程①的整数解,当然满足ax0+by0=c,②
因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c.
这表明x=x0-bt,y=y0+at也是方程①的解.
设x′,y′是方程①的任一整数解,则有
ax′+by′=c.③
③-②得
a(x′-x0)=b′(y0-y′).④
∵a,b是互质的正整数即(a,b)=1,
∴即y′=y0+at,其中t是整数.将y′=y0+at代入④,即得x′=x0-bt.
∴x′,y′可以表示成x=x0-bt,y=y0+at的形式,
∴x=x0-bt,y=y0+at表示方程①的一切整数解.

这道题可以求的就是
ax+by≠max{k}(0⩽x,y)ax+by\neq max\{k\}(0\leqslant x,y)ax+by=max{k}(0x,y)
所以我们就是要求x<0ory<0x<0\ \ \ or\ \ \ y<0x<0   or   y<0使ax+byax+byax+by最大
那么我们假设a>ba>ba>b
那么x=−1x=-1x=1ax+byax+byax+by最大
此时ax−bax-baxb,而此时xxx取最大值使整个式子最大
最后最大值是(b−1)a−b(b-1)a-b(b1)ab,因为当x=bx=bx=b时可以合并同类项变为(a−1)b(a-1)b(a1)b就可以进行表示了
然后(b−1)a−b=ab−a−b(b-1)a-b=ab-a-b(b1)ab=abab
然后如果b>ab>ab>a推的话是一样的结果


代码

#include<cstdio>
using namespace std;
long long a,b;
int main()
{scanf("%lld%lld",&a,&b);printf("%lld",a*b-a-b);
}

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