正题

题目链接：
https://www.luogu.org/problemnew/show/P2090

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大意

一个数对(a,b)，每次可以变为(a+b,b)或(a,a+b)。然后要求一个数对中有n求从(1,1)变成这个数对的最小次数。

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解题思路

更相减损法是gcd(a,b)=gcd(a,b-a)/gcd(a-b,b)
证明：

$$a\mid d,b\mid d$$
所以
$$(a-b)\mid d$$
我们设 $a'=b$， $b'=a-b$
那么 $$gcd(a,b)=gcd(a,a+b)$$
没错，是不是有些眼熟。更相减损术的次数就是到达一个数对需要的最少次数。
我们就可以枚举一个 $x$，然后求数对$(n,x)$的最小次数。

但是！

会超时。然后我们就可以用欧几里得算法
我们可以发现$(b,a-b)$进行$x$次就是$(b,a-bx)$。所以我们可以发现如果要从
$(b,a-bx)$变到$(b,a\%b)$，$x$需要等于$\lfloor a/b \rfloor$，所以我们可以用一个$wgcd(x,y)$表示变到数对$(x,y)$需要的次数，当$b=1$时我们只可以将$1$不断累加到$a$上面所以需要的次数就是$a-1$次
返回

$$wgcd(x,y)\left\{\begin{matrix} \\ x-1\ \ \ \ \ \ (y=1) \\ inf\ \ \ \ \ \ (y=0) \\ \lfloor a/b \rfloor+wgcd(y,x\%y)\ \ \ \ \ \ (y>1) \\ \\ \end{matrix}\right.$$

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代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,mins;
int gcd(int x,int y)//wGCD
{if (y==1) return x-1;if (!y) return 1e9;return x/y+gcd(y,x%y);
}
int main()
{mins=2147483647;scanf("%d",&n);for (int i=1;i<=(n+1)/2;i++)//枚举(n,i)mins=min(mins,gcd(n,i));printf("%d",mins);
}