正题

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4841

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题目大意

求$n$个点的简单联通无向图的个数。

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解题思路

首先考虑$n^2$，我们设$g_i$表示$i$个点的简单无向图的个数，显然$g_i=2^{\frac{n(n-1)}{2}}$

然后我们设$f_i$表示$i$个点的简单无向联通图的个数，然后我们只要固定一个联通块大小为$k(k<i)$然后剩下的点都不与其联通就可以去掉不连通的。

也就是$$f_n=g_n-\sum _{i=1}^{n-1}{f}_i\ast C_{n-1}^{i-1}\ast g_{n-i}$$

这就是$O(n^2)$

之后我们考虑优化，将$C$拆开
$$f_n=g_n-\sum _{i=1}^{n-1}{f}_i\ast \frac{(i-1)!}{(n-i)!(i-1)!}\ast g_{n-i}$$
然后将$n$的项提出
$$f_n=g_n-\sum _{i=1}^{n-1}{f}_i\ast \frac{(n-1)!}{(n-i)!(i-1)!}\ast g_{n-i}$$
$$\frac{g_n}{(n-1)!}=\sum _{i=1}^n\frac{f_i}{(i-1)!}\frac{g_{n-i}}{(n-i)!}$$
然后使用$NTT$卷起来
$$F(x)=\sum _{i=1}^{+\infty }\frac{f_i}{(i-1)!}{x}^i$$
$$G(x)=\sum _{i=0}^{+\infty }\frac{g_{n-i}}{(n-i)!}{x}^i$$
$$H(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{g_n}{(n-1)!}{x}^n$$
上两个的$i$与最后一个的$n$同理，所以现在有
$$H(x)=F(x)G(x)$$
$$F(x)=H(x)G(x{)}^{-1}$$
现在我们要求$F(x)$而$H(x)$和$G(x)$都知道。

那么我们将$G(x)$进行求逆后用$NTT$与$H(x)$相乘就好了。

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$code$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=131000,XJQ=1004535809;
ll n,fac[N],inv[N],r[N*4],Gi;
ll power(ll x,ll b)
{ll ans=1;while(b){if(b&1) ans=ans*x%XJQ;x=x*x%XJQ;b>>=1;}return ans;
}
struct Poly{ll x[N*4];void cpy(Poly &a,ll len){for(ll i=0;i<len;i++)x[i]=a.x[i];}void reset(ll len){for(ll i=0;i<len;i++)x[i]=0;}void ntt(ll n,ll op){for(ll i=1;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?n>>1:0);for(ll i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(x[i],x[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll len=p>>1,tmp=power(3,(XJQ-1)/p);if(op==-1)tmp=power(tmp,XJQ-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=buf*x[len+i]%XJQ;x[len+i]=(x[i]-tt+XJQ)%XJQ;x[i]=(x[i]+tt)%XJQ;buf=buf*tmp%XJQ;}}}}
};
Poly get_inv(Poly &a,Poly &b,Poly &c,ll n){if(a.x[0]==1) b.x[0]=1;else b.x[0]=power(a.x[0],XJQ-2);for(ll w=1;(1<<(w-1))<n;++w){ll len=(1<<w);c.cpy(a,len);c.ntt(len*2,1);b.ntt(len*2,1);for(ll i=0;i<(len<<1);i++)b.x[i]=(2-b.x[i]*c.x[i]%XJQ+XJQ)*b.x[i]%XJQ;b.ntt(len*2,-1);ll inv=power(len*2,XJQ-2);for(ll i=0;i<len;i++)b.x[i]=b.x[i]*inv%XJQ;for(ll i=len;i<len*2;i++) b.x[i]=0;}return b;
}
Poly H,Ginv,a,b;
int main()
{scanf("%lld",&n);n++;fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;for(ll i=2;i<=n;i++){inv[i]=XJQ-(XJQ/i)*inv[XJQ%i]%XJQ;fac[i]=fac[i-1]*inv[i]%XJQ;}Ginv.x[0]=1;for(ll i=1;i<n;i++){ll tmp=power(2,i*(i-1)/2%(XJQ-1));H.x[i]=tmp*fac[i-1]%XJQ,Ginv.x[i]=tmp*fac[i]%XJQ;}Ginv=get_inv(Ginv,a,b,n);ll len=1,w=0;while(len<(n<<1)) len<<=1,w++;for(ll i=n;i<len;i++) Ginv.x[i]=0;H.ntt(len,1);Ginv.ntt(len,1);for(ll i=0;i<=len;i++)H.x[i]=H.x[i]*Ginv.x[i]%XJQ;H.ntt(len,-1);printf("%lld",power(inv[2],w)*H.x[n-1]%XJQ*power(fac[n-2],XJQ-2)%XJQ);
}