正题

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2579

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题目大意

一张无向图，一个起点一个终点。

有食人鱼，在若干个点之间有周期的移动，周期为$2$或$3$或$4$个点为循环。

然后要求从起点到终点走$k$步且不碰到食人鱼的方案数。

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解题思路

因为食人鱼的周期为$2$或$3$或$4$，所以显然所有食人鱼的周期为$lcm(2,3,4)=12$一个循环。
然后$k$很大显然矩阵乘法。

转移矩阵$G(k)$中$[i,j]$表示在第$k$个时刻是否可以从$i$移动到$j$。需要考虑连边和食人鱼具体分析。

构建好转移矩阵后$G(k)$我们开始转移，我们发现如果不考虑快速幂转移那么
$$Ans=G(1)\ast G(2)\ast G(3)...\ast G(12)\ast G(1)\ast G(2)...\ast G(k\%12)$$
中间有$\lfloor \frac{k}{12}\rfloor$个$G(1)\ast G(2)\ast G(3)\ast ...G(12)$

那么我们让$Gsum=G(1)\ast G(2)\ast G(3)...\ast G(12)$

然后十分显然
$$Ans=Gsu{m}^{\lfloor \frac{k}{12}\rfloor }\ast \prod _{i=1}^{k\%12}G(i)$$
然后用$Ans$矩阵计算答案即可。

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$code$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int Size=60,T=12,XJQ=10000;
struct matrix{int a[Size][Size];
}ans,f[T];
int n,m,s,e,k,Nfish;
matrix operator *(matrix a,matrix b)
{matrix c;memset(c.a,0,sizeof(c.a));for(int i=0;i<Size;i++)for(int j=0;j<Size;j++)for(int k=0;k<Size;k++)(c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j]%XJQ)%=XJQ;return c;
}
void power(int b)
{matrix F=f[0];for(int i=1;i<T;i++)F=F*f[i];while(b){if(b&1) ans=ans*F;F=F*F;b>>=1;}
} 
int main()
{scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&s,&e,&k);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);for(int i=0;i<T;i++)f[i].a[x][y]=f[i].a[y][x]=1;}scanf("%d",&Nfish);for(int i=1;i<=Nfish;i++){int op,x,last;scanf("%d",&op);for(int j=0;j<op;j++){scanf("%d",&x);for(int k=j;k<T;k+=op){int now=k-1;if(now<0) now=T-1; for(int i=0;i<n;i++)f[now].a[i][x]=0;}}}ans.a[0][s]=1;power(k/T);for(int i=0;i<k%T;i++)ans=ans*f[i];printf("%d",ans.a[0][e]); 
}