前题

$ZYCdalao$让我推这题，然后我只推出了$f$的推导，我还是太菜了$QVQ$

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正题

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4550

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题目大意

$n$种，每次随机买一个邮票(每种的概率均等)，然后第$k$种要$k$元，求收集完所有邮票需要的期望钱数。

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解题思路

首先设$g_i$表示购买$i$个邮票，买完剩下的邮票需要的期望钱数，我们发现因为有$k$，我们很难计算答案，但我们可以将费用推后计算。先设$f_i$表示拿到了$i$个，要取完剩下的邮票需要购买的期望次数(倒推)，那么有$\frac{n-i}{n}$的概率买到正确的邮票，有$\frac{i}{n}$的概率买到之前买过的邮票
$$f_i=\frac{n-i}{n}\ast f_{i+1}+\frac{i}{n}\ast f_i+1$$
$$f_i=\frac{n-i}{n}\ast f_{i+1}+\frac{i}{n}\ast f_i+1$$
$$\frac{n-i}{n}\ast f_i=\frac{n-i}{n}\ast f_i+1$$
$$f_i=f_{i+1}+\frac{n}{n-i}$$

然后我们考虑如何推导$g_i$，我们每次有$\frac{i}{n}$的概率买到已经有了的，有$\frac{n-i}{n}$的概率买到没有的，因为费用推后计算，所以每次后面取到的费用都会$+1$，所以现在的费用就是之前的购买次数加上原来的费用$f_i+1$，那么加上前面的购买费用就是$g_i+f_i+1$

那么推导
$$g_i=\frac{i}{n}(g_i+f_i)+\frac{n-i}{n}(g_{i+1}+f_{i+1})+1$$
$$g_i=\frac{i}{n}\ast g_i+\frac{i}{n}\ast f_i+\frac{n-i}{n}(g_{i+1}+f_{i+1})+1$$
$$\frac{n-i}{n}{g}_i=\frac{i}{n}\ast f_i+\frac{n-i}{n}(g_{i+1}+f_{i+1})$$
$$g_i=\frac{i}{n-i}\ast f_i+g_{i+1}+f_{i+1}+1$$

$over$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=11000;
double n;
double f[N],g[N];
int main()
{scanf("%lf",&n);for(int i=n-1;i>=0;i--){f[i]=f[i+1]+(double)n/(n-i);g[i]=(double)(f[i]+1)*i/(n-i)+g[i+1]+f[i+1]+1;}printf("%.2lf",g[0]);
}