正题

---

题目大意

有递推式$$f_i=\prod _{j=1}^k{f}_{i-j}^{b_j}$$

给出$f_{1\sim k}$和$b_{1\sim k}$

求$f_n$

---

解题思路

首先这题的指数如此之大所以不能直接存，而指数又不能直接模所以我们要用欧拉定理
$$(b,p)=1$$
$$\Rightarrow a^b\equiv a^{b\%\phi (p)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{p})$$
因为$p$为质数所以就是
$$\Rightarrow a^b\equiv a^{b\%(p-1)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{p})$$

然后对于答案肯定能表示成$$\prod _{j=1}^k{f}_k^{c_j}$$

那么对于$c$我们就可以用矩阵乘法求了

然后我们用矩阵乘法，用矩阵$G^n$中$(0,i)$表示$f_n$的$c_i$。

然后用矩阵乘法快速幂直接计算出$G^n$即可。

时间复杂度$:O(k^3\log n+k\log p)$

---

$code$

#pragma GCC optimize(2)
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int K=201,p=998244353,phi=998244352;
int n,k,answer,num[K],b[K];
struct matrix{ll a[K][K];bool flag[K][K];
}f,ans,c;
matrix operator*(const matrix &a,const matrix &b)
{memset(c.a,0,sizeof(c.a));for(register int i=0;i<k;i++)for(register int j=0;j<k;j++)for(register int K=0;K<k;K++)c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][K]*b.a[K][j])%phi;return c;
}
int ksm(int x,int b)
{int ans=1;while(b){if(b&1) ans=(ll)ans*x%p;x=(ll)x*x%p;b>>=1;}return ans;
}
int main()
{//freopen("seq.in","r",stdin);//freopen("seq.out","w",stdout);scanf("%d%d",&n,&k);for(int i=1;i<k;i++)f.a[i][i-1]=1;for(int i=0;i<k;i++){scanf("%d",&b[i]);f.a[0][i]=b[i];}for(int i=0;i<k;i++)scanf("%d",&num[i]);if(n<=k){printf("%d",num[n-1]);return 0;}ans=f;n=n-k-1;while(n){ if(n&1) ans=ans*f;f=f*f;n>>=1;}answer=1;for(int i=0;i<k;i++)answer=(ll)answer*ksm(num[k-i-1],ans.a[0][i])%p;printf("%d",answer);
}