正题

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题目大意

给定两个向量$a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2)$，然后求$$|{\lambda }_{1}a+{\lambda }_{2}b|$$的最小值，要求${\lambda }_1,{\lambda }_2$不同时为0。

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解题思路

我们先考虑若$a,b$的夹角大于$90^{\circ }$那么我们就让${\lambda }_1$或${\lambda }_2$取负数使得他们夹角在$1\sim 90^{\circ }$

然后我们分两种情况讨论：

1. 向量$a,b$的夹角大于等于$60^{\circ }$
   这时推导
   $|ax+by|=|ax{|}^2+|by{|}^2+2\ast |ax||by|\cos \alpha >=|ax{|}^2+|by{|}^2-2\ast |ax||by|\cos \alpha$
   因为向量$x,y$满足夹角大于等于$60^{\circ }$，所以$2\cos \alpha <=1$，不会影响答案我们将其去掉
   $|ax+by|>=|ax|2+|by{|}^2-|ax||by|>=(|ax|-|by|{)}^2+|ax||by|$
   $|ax+by{|}^2=(|ax|-|by|{)}^2+|ax||by|$
   所以答案就是$x$和$y$中较大的那个
2. 其他情况：
   我们发现$|ax+by|=|a(x-ky)+(b+ak)y|$所以$b\Rightarrow b+a\ast k$可以进行转换
   那么我们考虑这种转换的最优性
   这一段证明较长，我就放论文了$QvQ$
   

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$code$

#include<cstdio> 
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define sqr(x) ((x)*(x))
using namespace std;
ll x1,y1,x2,y2,a,b,t;
void dg(ll x1,ll y1,ll x2,ll y2)
{ll x=(x1*x2+y1*y2),l1=sqr(x1)+sqr(y1),l2=sqr(x2)+sqr(y2);bool bz;if(x<0){dg(-x1,-y1,x2,y2);a=-a;return;}if(sqr(x)*4<l1*l2||!x){if(l1>l2) b=1;else a=1;return;}if(l1<l2) swap(x1,x2),swap(y1,y2),bz=1;else bz=0;swap(l1,l2);ll t=x/l2,k=t+1;if(x-t*l2<=k*l2-x&&t){dg(x1-t*x2,y1-t*y2,x2,y2);b=b-t*a;}else{dg(x1-k*x2,y1-k*y2,x2,y2);b=b-k*a;}if(bz) swap(a,b);
}
int main()
{freopen("math.in","r",stdin);freopen("math.out","w",stdout);while(scanf("%lld%lld%lld%lld",&x1,&y1,&x2,&y2)!=EOF){a=b=0;dg(x1,y1,x2,y2);t=sqr(a*x1+b*x2)+sqr(a*y1+b*y2);printf("%lld\n",t);}
}