正题

题目链接:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4403

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题目大意

求有多少个长度为$n$的单调不升序列，且对于每个元素都$\in [L,R]$

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解题思路

我们让$m=R-L+1$，因为序列的要求起始起始不会影响结果
然后我们开始考虑，我们在长度为$n$的序列全中1序列中我们可以每次选择一个位置让后面的数都加1，然后选择的个数不能超过$m-1$个。

我们枚举进行了多少次操作，对于操作的先后顺序不会影响该结果，然后这时我们可以将模型转换为$n$个格子，$i$个球，然后求方案数
$$\sum _{i=1}^{m-1}{C}_{n+i-1}^i\Rightarrow C_{n+m}^m-1$$

然后$Lucas$定理搞搞就好了时间复杂度$O(T\log n+p)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll p=1e6+3;
ll T,n,m,a[p+1];
ll power(ll x,ll b,ll p)
{ll ans=1;while(b){if(b&1) ans=ans*x%p;x=x*x%p;b>>=1;}return ans;
}
ll C(ll n,ll m,ll p)
{if(m>n) return 0ll;return a[n]*power(a[m],p-2,p)%p*power(a[n-m],p-2,p)%p;
}
ll lucas(ll n,ll m,ll p)
{if(!m) return 1ll;return lucas(n/p,m/p,p)*C(n%p,m%p,p)%p;
}
int main()
{scanf("%lld",&T);a[0]=1;for(ll i=1;i<=p;i++)a[i]=a[i-1]*i%p;while(T--){int r,l;scanf("%lld%lld%lld",&n,&l,&r);m=r-l+1;printf("%lld\n",(lucas(n+m,m,p)-1+p)%p);}return 0;
}